Question

Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольника со стороной 3см и диагональю 5см вокруг другой стороны.

Answer 1

Ответ: 64см площадь равна 2*П*4*(5+3)=2*48*П=64П  

 

Answer 2

Для нахождения площади поверхности, полученной при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон, мы можем использовать метод цилиндрических оболочек. Для этого необходимо найти выражение для длины элементарной оболочки, а затем интегрировать это выражение по соответствующему интервалу.

В данном случае, прямоугольник имеет стороны 3 см и 5 см, и его диагональ равна 5 см. Диагональ прямоугольника является гипотенузой, поэтому можно использовать теорему Пифагора для нахождения второй стороны:

$3^2 + b^2 = 5^2$, $9 + b^2 = 25$, $b^2 = 16$, $b = 4$ см.

Теперь у нас есть длины сторон прямоугольника: 3 см и 4 см.

Давайте рассмотрим вращение прямоугольника вокруг стороны длиной 4 см. В этом случае, длина окружности, по которой происходит вращение, будет равна длине этой стороны, то есть $L = 4$ см. Вращение происходит на угол 360 градусов.

Площадь поверхности, полученной при вращении, можно выразить через интеграл:

$S = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot ds,$

где $x$ - расстояние от точки вращения до элементарной оболочки, $ds$ - элементарный участок длины окружности.

В данном случае, $a = 0$ (начальная точка вращения) и $b = 4$ см (длина стороны, вокруг которой происходит вращение). $x$ будет изменяться от 0 до 3 см (половина длины второй стороны прямоугольника).

$S = 2\pi \int_{0}^{4} x \cdot dx = 2\pi \int_{0}^{3} x^2 dx$

Вычислим этот интеграл:

$S = 2\pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = \frac{18\pi}{3} = 6\pi \text{ см}^2.$

Итак, площадь поверхности, полученной при вращении прямоугольника, равна $6\pi$ квадратных сантиметров.