Question

. В каком количестве точек достаточно проверить совпадение значений двух многочленов четвертой степени, чтобы доказать их тождественное равенство?​

Answer 1

Докажем, что пяти достаточно.

Пусть $f(x),\; g(x)$ два многочлена четвертой степени, которые совпадают в пяти точках. Тогда $f(x)-g(x)$ является многочленом, имеющим пять корней. Но степень многочлена

Четырех может быть недостаточно: Всего у многочлена четвертой степени пять коэффициентов, значит, пять неизвестных. Четыре уравнения не всегда дают единственное решение.

Можно доказать и более общий результат:

Если $f(x),\; g(x)$ — многочлены, степени $n$, то $n+1$ — минимальное количество точек, в которых достаточно проверить совпадение многочленов, чтобы доказать их тождественное равенство.

База: для $\deg f=\deg g=1$ все очевидно: по аксиоме требуется две точки для однозначного определения прямой.

Переход: пусть для $\deg f=\deg g=k$ верно. Докажем истинность для $k+1$. Для этого предположим обратное: достаточно $k$ точек. Возьмем различные многочлены $\phi,\; \psi$ степени

Answer 2

Для двух многочленов четвертой степени, чтобы доказать их тождественное равенство, необходимо проверить равенство на бесконечном множестве точек. Это связано с тем, что два многочлена разной формы или с разными коэффициентами могут иметь равные значения только на конечном наборе точек, но не на всех возможных значениях.

Поэтому в теории, чтобы доказать тождественное равенство двух многочленов четвертой степени, необходимо было бы доказать равенство для бесконечного числа точек. Однако это практически невозможно. Таким образом, в реальных задачах часто используются методы алгебраической манипуляции и алгебраические тождества для доказательства равенства многочленов, а не проверка на бесконечном множестве точек.