Question

Есть две функции f(x) и g(x), непрерывные на отрезке [1, 10]. Функция h(x) = max{f(x), g(x)}, то есть в любой точке равна значению той из функций f и g, которая там больше. Правда ли, что h(x) тоже будет непрерывной на [1, 10], или может не быть? Если да – доказать, если нет – привести контрпример.

Answer 1

Ответ:

Да, будет

Пошаговое объяснение:в приложении.

Поправка к тексту решения: после слова "непрерывна" везде подразумевается непрерывность на отрезке [1;10], естественно

Answer 2

Функция h(x) будет непрерывной на отрезке [1, 10], так как максимум из непрерывных функций также будет непрерывной функцией.

Для доказательства этого факта можно воспользоваться определением непрерывности функции. Функция h(x) будет непрерывной на [1, 10], если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Пусть x0 - произвольная точка из интервала [1, 10]. Так как f(x) и g(x) непрерывны на [1, 10], то в точке x0 они также будут непрерывны. Таким образом, пределы f(x) и g(x) при x, стремящемся к x0, будут равны f(x0) и g(x0) соответственно.

Поскольку h(x) = max{f(x), g(x)}, то значение h(x) в точке x0 будет либо f(x0), либо g(x0), в зависимости от того, какая из функций больше в этой точке.

В любом случае, предел h(x) при x, стремящемся к x0, будет равен h(x0). Таким образом, h(x) непрерывна в точке x0.

Поскольку x0 было выбрано произвольно из интервала [1, 10], можно заключить, что функция h(x) непрерывна на всем интервале [1, 10].