Question

Вычислите площадь фигур ограниченных данными линиями: a: y=x^3-1; y=0; x=-1; x=1 b: y=x^2; y=1/x^2; x=1; x=2 Распишите поподробнее , пожалуйста

Answer 1

Ответ:

a) 2 ед.² b) 11/6 ед.²

Пошаговое объяснение:

На трёх фотографиях.

Есть вопросы? Задай их в комментарии в решению.

Answer 2

Конечно, давайте по порядку рассмотрим каждую из задач.

a) Фигура ограничена следующими линиями и графиками функций:

• Линия x = -1 (вертикальная линия, проходящая через x = -1)
• Линия x = 1 (вертикальная линия, проходящая через x = 1)
• График функции y = x^3 - 1
• Ось x (x-ось)
• Ось y (y-ось)

Чтобы найти площадь ограниченной фигуры, нам необходимо разбить эту фигуру на подобласти и вычислить площадь каждой подобласти отдельно. В данном случае, так как графики функций и линии являются непрерывными, мы можем воспользоваться интегралами для вычисления площадей.

Сначала найдем точки пересечения кривых:

1. Кривая y = x^3 - 1 пересекает ось x при x = -1 и x = 1.
2. Линия y = 0 также пересекает ось x при x = -1 и x = 1.

Таким образом, интервал, на котором мы будем вычислять площадь, ограничен от -1 до 1.

Интеграл для вычисления площади фигуры между кривой y = x^3 - 1 и осью x на интервале [-1, 1]: $S_1 = \int_{-1}^{1} (x^3 - 1) dx$

Вычисляем этот интеграл: $S_1 = \left[ \frac{x^4}{4} - x \right]_{-1}^{1} = \left( \frac{1}{4} - 1 \right) - \left( \frac{1}{4} + 1 \right) = -\frac{3}{2}$

Таким образом, площадь фигуры между кривой y = x^3 - 1 и осью x на интервале [-1, 1] равна -3/2.

b) Фигура ограничена следующими линиями и графиками функций:

• Линия x = 1 (вертикальная линия, проходящая через x = 1)
• Линия x = 2 (вертикальная линия, проходящая через x = 2)
• График функции y = x^2
• График функции y = 1/x^2

Точки пересечения:

1. Кривая y = x^2 пересекает график y = 1/x^2 при x = 1 и x = 2.

Интервал для вычисления площади: [1, 2].

Интеграл для вычисления площади фигуры между кривой y = x^2 и кривой y = 1/x^2 на интервале [1, 2]: $S_2 = \int_{1}^{2} (x^2 - \frac{1}{x^2}) dx$

Вычисляем этот интеграл: $S_2 = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{1}{x} \right]_{1}^{2} = \left( \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 \right) = \frac{7}{6}$

Таким образом, площадь фигуры между кривой y = x^2 и кривой y = 1/x^2 на интервале [1, 2] равна 7/6.

Итак, ответы: a) Площадь фигуры между кривой y = x^3 - 1 и осью x на интервале [-1, 1] равна -3/2. b) Площадь фигуры между кривой y = x^2 и кривой y = 1/x^2 на интервале [1, 2] равна 7/6.