Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2,y=x+2

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$y=x^2;y=x+2;S=?\\x^2=x+2\\x^2-x-2=0\\D=9;\sqrt{D}=3\\ x_1=-1;x_2=2.\\S=\int\limits^2_{-1} {(x+2-x^2)} \, dx=(\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3} )|_{-1}^2=\\=\frac{2^2}{2} +2*2-\frac{2^3}{3} -(\frac{(-1)^2}{2}+2*(-1)-\frac{(-1)^3}{3})= 2+4-\frac{8}{3}-(\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3})=\\ =6-\frac{8}{3} +1,5-\frac{1}{3}=7,5-3=4,5.$

Ответ: S=4,5 кв. ед.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и определить границы интегрирования. В данном случае, кривые y = x^2 и y = x + 2 пересекаются при решении уравнения:

x^2 = x + 2

Перенесем все в одну сторону и решим уравнение:

x^2 - x - 2 = 0

Факторизуем квадратное уравнение:

(x - 2)(x + 1) = 0

Из этого следует, что x = 2 или x = -1. Таким образом, точки пересечения кривых на оси x равны x = 2 и x = -1.

Чтобы найти границы интегрирования по x, нужно найти интервал, на котором одна кривая находится выше другой. На интервале [-1, 2] кривая y = x + 2 находится выше кривой y = x^2. Поэтому границы интегрирования будут от -1 до 2.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, используя интеграл:

Площадь = ∫[от -1 до 2] (x + 2 - x^2) dx

Выполним интегрирование:

Площадь = [x^2/2 + 2x - x^3/3] от -1 до 2 Площадь = (2^2/2 + 22 - 2^3/3) - ((-1)^2/2 + 2(-1) - (-1)^3/3) Площадь = (2 + 4 - 8/3) - (1/2 - 2 + 1/3) Площадь = (10/3) - (-5/6) Площадь = 20/6 + 5/6 Площадь = 25/6

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 и y = x + 2, равна 25/6 или приблизительно 4.17 единицы площади.