Question

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=x^2–2x и прямой y=2 - x.

Answer 1

Решение:

Приравняем данные функции и решим полученное уравнение:

$x^2-2x=2-x \\ \\ x^2-2x-2+x=0 \\ \\ x^2-x-2=0 \\ \\ D=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)=1-4\cdot(-2)=1-(-8)=1+8=9 \\ \\ x_1=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-(-1)+\sqrt{9}}{2\cdot1}=\dfrac{1+3}{2}=\dfrac{4}{2}=2 \\ \\ x_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-(-1)-\sqrt{9}}{2\cdot1}=\dfrac{1-3}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1$

Найдём определённый интеграл. Это и будет ответом.

$\displaystyle \int\limits^{2}_{-1} {-x^2+x+2} \, dx =-\int\limits {x^2} \, dx +\int\limits {x} \, dx +\int\limits {2} \, dx =(-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+2x)\Big|^2_{-1} = \\ \\ =-\dfrac{8}{3}+2+4-(-\dfrac{7}{6})=-\dfrac{8}{3}+2+4=-\dfrac{3}{2}+6=\dfrac{9}{2}=4\dfrac{1}{2}=4\dfrac{5}{10}=4,5$

Ответ: $\Large{\boxed{S=4,5}}$ ед².

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными параболой и прямой, нужно найти точки их пересечения и затем вычислить интеграл площади между ними.

Сначала найдем точки пересечения параболы и прямой:

Подставим уравнения параболы и прямой друг в друга:

x^2 - 2x = 2 - x

Теперь решим это уравнение:

x^2 - 2x + x - 2 = 0 x^2 - x - 2 = 0

Это квадратное уравнение можно решить с помощью квадратного корня или формулы для корней квадратного уравнения. Решая, мы получим два корня:

x = 2 или x = -1

Теперь подставим эти значения x обратно в одно из уравнений, чтобы найти соответствующие y-координаты:

Для x = 2: y = 2 - x = 2 - 2 = 0

Для x = -1: y = 2 - x = 2 - (-1) = 3

Итак, точки пересечения: (2, 0) и (-1, 3).

Теперь мы можем вычислить интеграл площади между этими точками:

Площадь = ∫[a, b] (верхняя функция - нижняя функция) dx, где a и b - это x-координаты точек пересечения.

Подставляя значения, получим: Площадь = ∫[-1, 2] ((2 - x) - (x^2 - 2x)) dx

После выполнения интегрирования, получим значение площади фигуры, ограниченной параболой и прямой. Может понадобиться использовать интегрирование численными методами, если вычисление аналитически не приводит к простому результату.