Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2+2, y=x.

Answer 1

Решение:

Найдём абсциссы точек пересечения графиков функций. Для этого необходимо приравнять данные функции и решить уравнение:

${-x}^{2}+2=x \\ \\ {-x}^{2}+2-x=0 \\ \\ \underbrace{{-x}^{2}}_{a}\underbrace{-x}_{b}\underbrace{+2}_{c}=0 \\ \\ D={b}^{2}-4ac={(-1)}^{2}-4\cdot(-1)\cdot2=1-(-8)=1+8=9\\\\{x}_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-(-1)-\sqrt{9}}{2\cdot(-1)}=\dfrac{1-3}{-2}=\dfrac{-2}{-2}=1 \\ \\ {x}_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-(-1)+\sqrt{9}}{2\cdot(-1)}=\dfrac{1+3}{-2}=\dfrac{4}{-2}=-2$

Теперь воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:

$\boxed{\boldsymbol{\int\limits^b_a {f(x)} \, dx =F(b)-F(a)}}$

Где $a=-2, \: \: b=1$. Нам ничего не остаётся сделать, как подставить численные значения в формулу и решить определённый интеграл:

$\displaystyle \int\limits^1_{-2} {{-x}^{2}-x+2} \, dx =-\int\limits {{x}^{2}} \, dx -\int\limits {x} \, dx +\int\limits {2} \, dx =\Big(-\dfrac{{x}^{3}}{3}-\dfrac{{x}^{2}}{2}+2x\Big)\Big|^1_{-2}= \\ \\ =-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+2-\Big(-\dfrac{-8}{3}-2-4\Big)=\dfrac{6-1+4}{2}=\dfrac{9}{2}=4\dfrac{1}{2}=4\dfrac{5}{10}=\bf{4,5}$

Ответ: $\Large{\boxed{\bold{4,5}}}$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = -x^2 + 2$ и $y = x$, вам нужно сначала найти точки их пересечения. Затем вычислите интеграл от разности этих двух функций между найденными точками. Площадь будет равна модулю этого интеграла.

1. Найдем точки пересечения $y = -x^2 + 2$ и $y = x$:

   $-x^2 + 2 = x$

   $x^2 + x - 2 = 0$

   Это квадратное уравнение можно решить с помощью квадратного корня или факторизации:

   $(x + 2)(x - 1) = 0$

   Отсюда получаем два корня:

   $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

2. Теперь мы знаем, что точки пересечения графиков находятся в точках $(-2, -2)$ и $(1, 1)$.

3. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями, вычислим интеграл от $y = x - (-x^2 + 2)$ от $x = -2$ до $x = 1$:

   $S = \int_{-2}^{1} (x - (-x^2 + 2)) dx$

4. Вычислим этот интеграл:

   $S = \int_{-2}^{1} (x + x^2 - 2) dx$

   $S = \left[\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - 2x\right]_{-2}^{1}$

   Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

   $S = \left(\frac{1^2}{2} + \frac{1^3}{3} - 2(1)\right) - \left(\frac{(-2)^2}{2} + \frac{(-2)^3}{3} - 2(-2)\right)$

   $S = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 2\right) - \left(\frac{4}{2} + \frac{-8}{3} + 4\right)$

   Теперь вычислим значения внутри скобок:

   $S = \left(\frac{5}{6} - 2\right) - \left(2 - \frac{8}{3} + 4\right)$

   $S = \left(\frac{5}{6} - \frac{12}{6}\right) - \left(\frac{6}{3} - \frac{8}{3} + \frac{12}{3}\right)$

   $S = \left(\frac{-7}{6}\right) - \left(\frac{18}{3} - \frac{8}{3} + \frac{12}{3}\right)$

   $S = \left(\frac{-7}{6}\right) - \left(\frac{22}{3}\right)$

5. Теперь вычислим разницу:

   $S=\frac{-7}{6}-\frac{22}{3}=\frac{-7}{6}-\frac{44}{6}=-$ 0 0