Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х2 + 4х + 6, у = х + 6.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

у = х² + 4х + 6,     у = х + 6.

х² + 4х + 6=х + 6

х² + 4х + 6-x-6=0

х² + 3х =0

x(x+3)=0

x+3=0

x₁= -3

x₂=0;  

$\int\limits^0_{-3} {(x^2+4x+6-x-6)} \, dx= \int\limits^0_{-3} {(x^2+3x)} \, dx=\\\\\\=[\frac{1}{3}x^{3} +\frac{3}{2}x^2|_{-3}^0=\\\\ =[-\frac{1}{3}*27} +\frac{3}{2}*9-0]=-9+13,5=4,5kv.ed,$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и затем интегрировать разность их уравнений вдоль оси x в пределах этих точек.

Первое, найдем точки пересечения уравнений y = x^2 + 4x + 6 и y = x + 6:

x^2 + 4x + 6 = x + 6

Перенесем все в одну сторону:

x^2 + 3x = 0

Факторизуем:

x(x + 3) = 0

Отсюда получаем два возможных значения x: x = 0 и x = -3.

Теперь рассмотрим интеграл разности уравнений вдоль оси x в пределах от -3 до 0:

Площадь = ∫[x=-3 to 0] [(x + 6) - (x^2 + 4x + 6)] dx

Упростим выражение внутри интеграла:

Площадь = ∫[x=-3 to 0] (-x^2 - 3x) dx

Теперь проинтегрируем это выражение:

Площадь = [-x^3/3 - 3x^2/2] от -3 до 0

Площадь = [-(0^3/3) - 3(0^2/2)] - [(-(-3)^3/3 - 3(-3)^2/2)]

Площадь = [0 - 0] - [(-(-27)/3 - 3(9/2))]

Площадь = 9/2

Итак, площадь фигуры, ограниченной уравнениями y = x^2 + 4x + 6 и y = x + 6, составляет 9/2 (или 4.5) квадратных единиц.