Question

Найдите наибольшее значение функции y=x^3+2x^2+x+3 на отрезке [−2;−1].

Answer 1

Ответ: 3.

Пошаговое объяснение:

На отрезке [-2;-1] функция непрерывна. Её производная y'=3*x²+4*x+1 на данном отрезке положительна (за исключением точки x=-1), поэтому на интервале [-2;-1) функция монотонно возрастает. Так как при переходе через точку x=-1 производная меняет знак с + на -, то эта точка является точкой максимума. Функция в ней принимает значение y(-1)=(-1)³+2*(-1)²-1+3=3.

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = x^3 + 2x^2 + x + 3 на отрезке [-2; -1], нужно найти максимум этой функции на данном интервале. Для этого найдем критические точки, то есть точки, где производная функции равна нулю, и граничные точки интервала.

1. Найдем производную функции y = x^3 + 2x^2 + x + 3: y' = 3x^2 + 4x + 1.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: 3x^2 + 4x + 1 = 0.

   Для решения квадратного уравнения воспользуемся дискриминантом D = b^2 - 4ac: D = 4^2 - 4 * 3 * 1 = 16 - 12 = 4.

   Так как D > 0, у уравнения два действительных корня: x = (-b ± √D) / (2a) = (-4 ± 2) / (2 * 3) = (-4 ± 2) / 6.

   Получаем два значения x: x1 = -1 и x2 = -1/3.

3. Теперь найдем значения функции в критических точках и на границах интервала:

   • Значение функции в точке x1 = -1: y(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + (-1) + 3 = -1 + 2 - 1 + 3 = 3.

   • Значение функции в точке x2 = -1/3: y(-1/3) = (-1/3)^3 + 2(-1/3)^2 + (-1/3) + 3 ≈ 2.74.

   • Значение функции на левой границе интервала x = -2: y(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 + (-2) + 3 = -8 + 8 - 2 + 3 = 1.

   • Значение функции на правой границе интервала x = -1: y(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + (-1) + 3 = -1 + 2 - 1 + 3 = 3.

Итак, наибольшее значение функции на отрезке [-2; -1] равно 3, и оно достигается в точках x = -1 и x = -1/3.