Question

Найдите точки экстремума и промежутки монотонности функции f(x)=-x^3+9x^2+21x-2

Answer 1

f'(x) = -3x²+18x+21 = -3*(x²-6x-7)

x²-6x-7=0

D = 36+4*7 = 64

√D = 8

X1 = (6-8)/2 = -1

X2 = (6+8)/2 = 7

-1 - точка минимума

7 - точка максимума

от -∞ до -1 ↓

от -1 до 7 ↑

от 7 до +∞ ↓

Answer 2

Для нахождения точек экстремума и промежутков монотонности функции f(x) = -x^3 + 9x^2 + 21x - 2, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции f(x) по переменной x: f'(x) = -3x^2 + 18x + 21.

2. Решим уравнение f'(x) = 0 для нахождения критических точек (где производная равна нулю): -3x^2 + 18x + 21 = 0.

   Для решения этого квадратного уравнения, можно поделить обе стороны на -3: x^2 - 6x - 7 = 0.

   Факторизуем уравнение: (x - 7)(x + 1) = 0.

   Отсюда получаем две критические точки: x = 7 и x = -1.

3. Определим знак производной f'(x) на интервалах между и вокруг критических точек. Для этого выберем тестовые точки в интервалах (-∞, -1), (-1, 7) и (7, +∞):

   Для x < -1: Подставляем x = -2 (например) f'(-2) = -3(-2)^2 + 18(-2) + 21 = -12 - 36 + 21 = -27 (отрицательно).

   Для -1 < x < 7: Подставляем x = 3 (например) f'(3) = -3(3)^2 + 18(3) + 21 = -27 + 54 + 21 = 48 (положительно).

   Для x > 7: Подставляем x = 8 (например) f'(8) = -3(8)^2 + 18(8) + 21 = -192 + 144 + 21 = -27 (отрицательно).

4. Анализируем знаки производной и полученные критические точки:

   • На интервале (-∞, -1), производная отрицательна, следовательно, функция убывает.
   • В точке x = -1, производная меняет знак с минуса на плюс, значит, у функции есть локальный минимум.
   • На интервале (-1, 7), производная положительна, функция возрастает.
   • В точке x = 7, производная меняет знак с плюса на минус, значит, у функции есть локальный максимум.
   • На интервале (7, +∞), производная отрицательна, функция убывает.

Итак, точки экстремума:

• Локальный минимум в точке x = -1.
• Локальный максимум в точке x = 7.

Промежутки монотонности:

• Функция убывает на интервале (-∞, -1).
• Функция возрастает на интервале (-1, 7).
• Функция убывает на интервале (7, +∞).