Question

1.Решите уравнение: 2cos2х=8sinx+5 2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у=2х3 – 9х2 -3 на отрезке [-1;4]

Answer 1

1.

2*(1-2sin²x) = 8sinx+5

2-4sin²x-8sinx-5=0

-4sin²x-8sinx-3=0

пусть sinx = t

-4t²-8t-3=0

D = 64-4*4*3 = 16

√D = 4

t1 = (8-4)/-8 = 4/-8 = -1/2

t2 = 12/-8 = 3/2

sinx = -1/2

x = 11π/6 + 2πk

sinx=1.5

нет корней

2.

у(-1) = -2-9-3=-14

у(4) = 128-144-3 = -19

у°=6х²-18х = 6х*(х-3)

6х*(х-3)=0

х=0

х=3

у(0) = -3

у(3) = 54-81-3 = -30

наиб = -3

наим = -30

Answer 2

1. Решение уравнения: Начнем с преобразования уравнения: 2cos(2x) = 8sin(x) + 5

Используем тригонометрические тождества для замены cos(2x) и sin(x): 2(1 - 2sin^2(x)) = 8sin(x) + 5

Распределим и приведем подобные члены: -4sin^2(x) - 8sin(x) + 5 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно sin(x). Решим его с помощью дискриминанта: D = (-8)^2 - 4 * (-4) * 5 = 64 + 80 = 144

sin(x) = (-b ± √D) / 2a, где a = -4, b = -8: sin(x) = (8 ± √144) / (-8) sin(x) = (8 ± 12) / (-8)

Первое решение: sin(x) = (8 + 12) / (-8) = 5/4 (не подходит, так как sin(x) не может быть больше 1)

Второе решение: sin(x) = (8 - 12) / (-8) = -1

Известно, что sin(x) = -1 для x = -π/2, а также x = -π/2 + 2πk, где k - целое число.

Теперь найдем значения x, соответствующие найденным значениям sin(x):

1. x = -π/2

2. x = -π/2 + 2π = 3π/2

3. x = -π/2 + 4π = 7π/2 ...

4. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции: У нас дана функция y = 2x^3 - 9x^2 - 3, и мы хотим найти ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке [-1, 4].

5. Найдем производную функции y по x: y' = 6x^2 - 18x

6. Найдем критические точки, где производная равна нулю: 6x^2 - 18x = 0 6x(x - 3) = 0

Таким образом, критические точки x = 0 и x = 3.

3. Найдем значения функции y в этих точках и на концах интервала [-1, 4]:

• Для x = -1: y(-1) = 2(-1)^3 - 9(-1)^2 - 3 = -2 - 9 - 3 = -14
• Для x = 0: y(0) = 2(0)^3 - 9(0)^2 - 3 = -3
• Для x = 3: y(3) = 2(3)^3 - 9(3)^2 - 3 = 54 - 243 - 3 = -192
• Для x = 4: y(4) = 2(4)^3 - 9(4)^2 - 3 = 128 - 576 - 3 = -451

Таким образом, наибольшее значение функции на интервале [-1, 4] равно -3, а наименьшее значение равно -451.