Question

Найти сумму всех корней уравнения cos^{4}x-sin^{4}x=1, принадлежащих промежутку [0;2п] Под п я иммею ввилу число пи, я не знаю как на клаве его вписать)

Answer 1

Используем формулу разности квадратов, основное тригонометрическое тождество и формулу двойного угла косинуса и все

$\displaystyle cos^4x-sin^4x=1 \Rightarrow (cos^2x-sin^2x)(cos^2x+sin^2x)=1 \Rightarrow \\ \Rightarrow cos2x=1 \Rightarrow 2x=2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}; \\ 0 \leq 2\pi n \leq 2\pi \Rightarrow 0 \leq n \leq 1 \Rightarrow x=0; x=2\pi \Rightarrow \sum_{i}x_i=0+2\pi=2\pi$

Ответ: $2\pi$

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам найти сумму всех корней уравнения на указанном интервале. Уравнение, которое вы предоставили, выглядит так:

cos^4(x) - sin^4(x) = 1

Давайте рассмотрим это уравнение более подробно. Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы переписать cos^4(x) и sin^4(x) в терминах cos(2x) и sin(2x):

cos^4(x) - sin^4(x) = (cos^2(x) + sin^2(x))(cos^2(x) - sin^2(x)) = cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x)

Теперь уравнение стало проще:

cos(2x) = 1

Сумма всех корней этого уравнения на интервале [0, 2π] будет равна сумме всех значений x, при которых выполняется cos(2x) = 1.

Значения cos(2x) равны 1, когда 2x = 0 + 2πk, где k - целое число. Решив это уравнение относительно x, получим:

2x = 2πk x = πk

Таким образом, корни лежат при x = πk, где k - целое число, на интервале [0, 2π]. Суммируем эти корни:

Сумма корней = π * (0 + 1 + 2 + ... + n)

Здесь n - наибольшее целое число, для которого πn ≤ 2π. Это значение равно n = 1.

Следовательно, сумма всех корней уравнения на интервале [0, 2π] равна:

Сумма корней = π * (0 + 1) = π

Таким образом, сумма всех корней уравнения cos^4(x) - sin^4(x) = 1, принадлежащих интервалу [0, 2π], равна π.