Question

Докажите, что среди чисел вида 2^{n} -3 существует бесконечно много чисел, делящихся на 5, и бесконечно много чисел, делящихся на 13, но не существует ни одного числа, делящегося на 65. Указание: рассмотреть остатки от деления числа на 5 и 13

Answer 1

Разность чисел a и b делится на c, если a и b имеют равные остатки при делении на с.

Рассмотрим остатки от деления данного выражения на 5. 3 имеет остаток 3, поэтому 2ⁿ также должно иметь остаток 3. Заметим, что все числа вида $2^{4k-1},k\in\mathbb{N}$ имеют такой остаток. Докажем это методом математической индукции:

1. База индукции: при k = 1 $2^3=8\equiv 3\ (\mod 5)$

2. Переход: пусть при k = x утверждение верно. Тогда при k = x + 1:

$2^{4(x+1)-1}=2^{4x+3}=16\cdot2^{4x-1}\equiv 1\cdot2^{4x-1}\ (\mod 5)$

Утверждение доказано. Так как k — любое натуральное число, данных в условии чисел бесконечно много.

Аналогично 2ⁿ должно иметь остаток 3 при делении на 13. Также докажем по индукции, что числа вида $2^{12k-8},k\in\mathbb{N}$ подходят:

1. База индукции: при k = 1 $2^4=16\equiv 3\ (\mod 13)$

2. Переход: пусть при k = x утверждение верно. Тогда при k = x + 1:

$2^{12(x+1)-8}=2^{12x+4}=2^{12}\cdot2^{12x-8}\equiv 1\cdot2^{12x-8}\ (\mod 13)$

Утверждение доказано, данных в условии чисел, делящихся на 13, бесконечно много.

Докажем, что не существует чисел вида 2ⁿ, которые при делении на 65 дают остаток 3. Выпишем первые 12 остатков: 2 4 8 16 32 64 63 61 57 49 33 1. Среди них нет ни одной тройки. Докажем, что они повторяются, то есть $2^{12k+t}\equiv 2^{12(k+1)+t}\ (\mod 65)$, где k — неотрицательное целое число, 0 ≤ t ≤ 11 (за исключением случая k = t = 0):

$2^{12(k+1)+t}=2^{12k+12+t}=2^{12}\cdot 2^{12k+t}\equiv 1\cdot 2^{12k+t}\ (\mod 65)$ — верно. Значит, 2ⁿ не может давать 3 при делении на 65.

Answer 2

Докажем каждое из утверждений по очереди:

1. Существование бесконечного количества чисел вида $2^n - 3$, делящихся на 5:

Рассмотрим остатки от деления чисел вида $2^n - 3$ на 5. Заметим, что $2^0 - 3 = -2 \equiv 3 \pmod{5}$, $2^1 - 3 = -1 \equiv 4 \pmod{5}$, $2^2 - 3 = 1 \equiv 1 \pmod{5}$, $2^3 - 3 = 5 \equiv 0 \pmod{5}$, $2^4 - 3 = 13 \equiv 3 \pmod{5}$, $2^5 - 3 = 29 \equiv 4 \pmod{5}$, $2^6 - 3 = 61 \equiv 1 \pmod{5}$, и так далее.

Мы видим, что остатки от деления чисел $2^n - 3$ на 5 повторяются циклически: 3, 4, 1, 0. Так как есть остаток 0, то среди бесконечного множества чисел $2^n - 3$ обязательно найдутся числа, делящиеся на 5. Это следует из того, что в цикле остатков невозможно избежать остатка 0, и он будет повторяться бесконечное количество раз. Следовательно, существует бесконечно много чисел вида $2^n - 3$, делящихся на 5.

2. Существование бесконечного количества чисел вида $2^n - 3$, делящихся на 13:

Аналогично рассмотрим остатки от деления чисел вида $2^n - 3$ на 13. Начиная с $2^0 - 3 = -2 \equiv 11 \pmod{13}$ и продолжая далее, мы видим, что остатки циклически повторяются: 11, 9, 5, 3, 7, 1, 11, 9, 5, 3, 7, 1, и так далее.

Подобно предыдущему случаю, циклический набор остатков содержит 0. Это означает, что среди бесконечного множества чисел $2^n - 3$ обязательно найдутся числа, делящиеся на 13. Таким образом, существует бесконечно много чисел вида $2^n - 3$, делящихся на 13.

3. Отсутствие чисел вида $2^n - 3$, делящихся на 65:

Рассмотрим остатки от деления чисел $2^n - 3$ на 65. Поскольку 65 разлагается на простые множители $5$ и $13$, чтобы число делилось на 65, оно должно одновременно деляться и на $5$, и на $13$. Однако мы знаем из предыдущих рассуждений, что всегда можно найти числа вида $2^n - 3$, делящиеся на $5$ и $13$ в отдельности, но невозможно найти такое число, которое делилось бы и на $5$, и на $13$. Следовательно, не существует ни одного числа вида $2^n - 3$, делящегося на 65.