Question

Н25 [50б] При умножении какого из приведенных чисел на число 2×7×11×19×23 , количество натуральных делителей полученного числа увеличится в 2 раза ? А) 11 В) 7 С) 2 Д) 3Заранее большое спасибо!!!

Answer 1

Ответ:

Пункт Д) 3 .

Как увеличить количество натуральных

делителей в 2 раза?

Answer 2

Решение:

Если число представимо в виде $\alpha _1 ^{x _1} \cdot \alpha_2^{x_2} \cdot \alpha_3^{x_3} \cdot ... \alpha_n^{x_n}$, то количество его делителей исчисляется по формуле $(x_1+1) \cdot (x_2+1) \cdot (x_3+1) \cdot ... \cdot (x_n+1)$. При этом все $\alpha _i$ - различные простые числа (входящие в разложение данного числа на множители), а $x_i$ - их максимальные степени в разложении.

Отсюда следует, что у числа $2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 19 \cdot 23$ ровно $(1+1)^5=2^5=32$ делителей (всего пять простых чисел, каждое входит в разложение в первой степени).

При добавлении $11$ (А), $7$ (В), $2$ (С) количество делителей станет равным $(1+1)^4 \cdot (2+1)^1 = 2^4 \cdot 3^1 = 16 \cdot 3 = 48$ (в разложении четыре простых числа в первой степени, а одно - во второй). Как видим, число делителей увеличилось в $1,5$ раза. Такой случай нам не подходит.

Если же добавился множитель $3$ (которого в разложении не было), то общее число делителей стало равно $(1+1)^6 = 2^6 = 64$ (имеем шесть простых чисел, повторяющихся в разложении единожды), то есть  увеличилось в $2$ раза.

Можно было рассуждать и по-другому: заметить, что при добавлении нового простого числа (то есть того, которого раньше не было в разложении) все имевшиеся делители остаются как были, но к ним добавляются они же, домноженные на добавленное простое число ($3$). А при добавлении уже имевшегося в разложении простого числа так не будет происходить (потому что обнаружатся некоторые повторения делителей).

Ответ: Д). 3.

Answer 3

Для того чтобы количество натуральных делителей числа увеличилось в 2 раза при умножении на число 2×7×11×19×23, нужно, чтобы исходное число было нечетным и не содержало делителей 2, 7, 11, 19 и 23.

Из предложенных вариантов, только число 11 не является делителем числа 2×7×11×19×23. Таким образом, правильный ответ - А) 11.