Question

В начале года Аркадий открыл вклад в банке на сумму 63000 рублей на несколько лет под целое число процентов годовых. В конце каждого года банк увеличивает вклад на r% по сравнению с его размером в начале года, после чего Аркадий снимает со вклада некоторую сумму денег. Суммы, снимаемые в конце каждого года, подбираются так, чтобы размер вклада на начало каждого года, начиная со второго, был на одну и ту же сумму больше размера вклада на начало предыдущего года. Известно, что после n-го снятия на вкладе оказалась сумма, в 1,5 раза превышающая сумму первоначального вклада, а за n снятий Аркадий получил в общей сложности 10080 рублей (2 ≤ n ≤ 8). Найдите r.

Answer 1

Ответ:

11

Пошаговое объяснение:

После n-ного снятия сумма вклада (назовём её S) стала равна 1,5S рублей. Тогда после каждого снятия сумма увеличивалась на $\dfrac{1{,}5S-S}{n}=\dfrac{S}{2n}$ рублей.

Пусть $k=1+\dfrac{r}{100}$ — показатель того, во сколько раз увеличилась сумма вклада. Тогда каждый раз было снято:

$Sk-(S+\dfrac{S}{2n}), (S+\dfrac{S}{2n})k-(S+2\cdot\dfrac{S}{2n}),... , (S+(n-1)\cdot\dfrac{S}{2n})k-(S+n\cdot\dfrac{S}{2n})$

Сложим полученные числа:

$(nS+(1+2+...+n-1)\dfrac{S}{2n})k-(nS+(1+2+...+n)\dfrac{S}{2n})=\\=S(n+\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot\dfrac{1}{2n})k-S(n+\dfrac{n(n+1)}{2}\cdot\dfrac{1}{2n})=\\=S((n+\dfrac{n-1}{4})k-(n+\dfrac{n+1}{4}))=10080\\\dfrac{5n-1}{4}k-\dfrac{5n+1}{4}=\dfrac{10080}{63000}=\dfrac{4}{25}\\k=(\dfrac{4}{25}+\dfrac{5n+1}{4})\cdot\dfrac{4}{5n-1}=\dfrac{125n+41}{125n-25}=1+\dfrac{66}{125n-25}\\1+\dfrac{r}{100}=1+\dfrac{66}{125n-25}\\r=\dfrac{6600}{125n-25}=\dfrac{264}{5n-1}$

При n = 2 $r=\dfrac{88}{3}\not\in\mathbb{N}$

При n = 3 $r=\dfrac{132}{7}\not\in\mathbb{N}$

При n = 4 $r=\dfrac{264}{19}\not\in\mathbb{N}$

При n = 5 r = 11

При n = 6 $r=\dfrac{264}{29}\not\in\mathbb{N}$

При n = 7 $r=\dfrac{132}{17}\not\in\mathbb{N}$

При n = 8 $r=\dfrac{88}{13}\not\in\mathbb{N}$

Таким образом, единственное возможное значение r = 11.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу шаг за шагом.

1. Первоначальный вклад составляет 63000 рублей.

2. После первого года вклад увеличивается на r%, и Аркадий снимает некоторую сумму денег. После этого вклад составляет (1 + r/100) * 63000 рублей.

3. После второго года вклад также увеличивается на r%, и снова снимается сумма. После этого вклад составляет (1 + r/100) * (1 + r/100) * 63000 рублей.

4. Продолжаем этот процесс n раз, и после n-го снятия вклад составляет (1 + r/100)^n * 63000 рублей.

5. По условию задачи, после n-го снятия вклад оказывается в 1,5 раза больше начального вклада, то есть:

   (1 + r/100)^n * 63000 = 1.5 * 63000.

   Делим обе стороны на 63000:

   (1 + r/100)^n = 1.5.

6. Теперь нам нужно найти сумму, которую Аркадий снимает после каждого года. Мы знаем, что за n снятий он получил в общей сложности 10080 рублей. После первого снятия у него осталось ((1 + r/100) * 63000 - x1) рублей, где x1 - сумма первого снятия.

7. После второго снятия у него осталось ((1 + r/100)^2 * 63000 - x2) рублей, где x2 - сумма второго снятия, и так далее.

8. После n-го снятия у него останется ((1 + r/100)^n * 63000 - xn) рублей, где xn - сумма n-го снятия.

9. Зная, что сумма всех снятий равна 10080 рублей, мы можем записать уравнение:

   x1 + x2 + ... + xn = 10080.

10. Теперь мы можем воспользоваться методом платежей с аннуитетом (аннуитетом называется постоянный платеж, который выплачивается регулярно в течение некоторого периода). В данной задаче мы ищем r, то есть годовую процентную ставку, и зная, что сумма всех снятий образует аннуитет, можем воспользоваться формулой для аннуитета:

x1 + x2 + ... + xn = A * ((1 - (1 + r/100)^(-n)) / (r/100)),

где A - начальная сумма аннуитета, в данном случае, 10080 рублей.

11. Подставляем значения и упрощаем уравнение:

10080 = 10080 * ((1 - (1 + r/100)^(-n)) / (r/100)).

12. Делим обе стороны на 10080:

1 = ((1 - (1 + r/100)^(-n)) / (r/100)).

13. Теперь у нас есть два уравнения:

(1 + r/100)^n = 1.5, 1 = ((1 - (1 + r/100)^(-n)) / (r/100)).

Мы можем решить эту систему уравнений численным методом, например, методом подбора. Найдя r, мы сможем найти годовую процентную ставку, которую банк использует для увеличения вклада Аркадия.