Question

Один з зовнішніх кутів рівнобедреного трикутника рівний 118. Чому рівний кут між висотами, що проведені з вершин менших кутів?​

Answer 1

Если это угол при вершине, смежный с ним внутренний равен 180°-118°=62°, то два остальных угла при основании равны по 118°/2=59°,  т.к. внешний угол  равен двум внутренним, не смежных с ним, а углы при основании равны, тогда нас интересует угол между высотами, проведенными из углов при основании, высоты отсекают четырехугольник, у которого два  угла по 90°, и третий 62°, а сумма всех углов 360°, то оставшийся четвертый угол , он и будет углом между высотами, проведенными из вершин меньших углов, он равен

360°-2*90°-62°=118° Ответ 118°

2) Если же этот внешний угол при вершине основания треугольника, то два равных угла при основании по (180°-118°)=62° , а третий 180°-2*62°=180°-124°=36,°  тогда меньшими углами считаем углы в 36° и 62², и угол между высотами, проведенными из этих вершин, будет равен 360°-2*90°-62°=118°

Answer 2

Назвемо рівнобедрений трикутник ABC, де AB = AC, а зовнішній кут при вершині A дорівнює 118°. Також, позначимо висоти, проведені з вершин B та C як BH та CK відповідно.

За умовою, ми маємо зовнішній кут при вершині A, тобто кут BAC = 180° - 118° = 62°.

Тепер давайте розглянемо трикутник ABH. Ми знаємо, що це прямокутний трикутник (оскільки висота проведена до основи в прямокутному трикутнику є перпендикуляром до основи, а у нас тут висота BH проведена до сторони AB, яка є основою). Таким чином, ми можемо знайти кут BHA за допомогою тригонометричних відношень.

У прямокутному трикутнику ABH, тригонометричне відношення для тангенсу кута між протилежною стороною і прилеглою стороною є:

$\tan(\angle BHA) = \frac{BH}{AB}.$

Але ми знаємо, що AB = AC, тобто AB = AC = BH. Таким чином,

$\tan(\angle BHA) = \frac{BH}{BH} = 1.$

Звідси випливає, що $\angle BHA = 45°$.

Аналогічно, ми можемо розглянути трикутник ACK. Знову ж таки, відношення для тангенсу кута між протилежною стороною і прилеглою стороною є:

$\tan(\angle ACH) = \frac{CK}{AC}.$

Але якщо AC = CK, то $\tan(\angle ACH) = \frac{CK}{CK} = 1$, і відповідно, $\angle ACH = 45°$.

Тепер, щоб знайти кут між висотами BH та CK, давайте розглянемо трикутник BHC. У цьому трикутнику ми маємо два кути BHA і ACH, які дорівнюють 45° (як ми визначили раніше), та кут BHC, який є сумою кутів в трикутнику BHC.

Сума кутів в трикутнику дорівнює 180°. Отже,

$\angle BHC = 180° - \angle BHA - \angle ACH = 180° - 45° - 45° = 90°.$

Отже, кут між висотами BH та CK дорівнює 90°.