Question

Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции y=sin 4x в точке x0=π4 .

Answer 1

$y = \sin 4x; \ x_{0} = \dfrac{\pi}{4}$

Геометрический смысл производной: $y'(x_{0}) = k = \text{tg} \, \alpha$

$y' = (\sin 4x)' = \cos 4x \cdot (4x)' = 4\cos 4x$

$y'\left(\dfrac{\pi}{4} \right)= 4\cos \left(4 \cdot \dfrac{\pi}{4}\right) = 4\cos \pi = 4 \cdot (-1) = -4$

Таким образом, $y'\left(\dfrac{\pi}{4} \right)= \text{tg} \, \alpha = -4$

Ответ: $-4$

Answer 2

Для нахождения угла наклона касательной к графику функции в определенной точке, мы можем воспользоваться производной функции в этой точке.

Исходная функция: y = sin(4x)

Первая производная функции по x: y' = d/dx [sin(4x)] = 4cos(4x)

Теперь найдем значение производной в точке x₀ = π/4: y'(π/4) = 4cos(4 * π/4) = 4cos(π) = -4

Тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке равен значению производной в этой точке. Таким образом, тангенс угла наклона равен -4.