Question

решите дифференциальные уравнения (x+1)^3*dy-(y-2)^2*dx=0 и найдите частные решения(частные интегралы), удовлетворяющие данным условиям y=0 при x=0

Answer 1

Ответ: -1/(y-2)+1/[2*(x+1)²]-1=0.

Пошаговое объяснение:

Разделив уравнение на (x+1)³*(y-2²), запишем его в виде dy/(y-2)²-dx/(x+1)³=0. Так как d(y-2)=dy и d(x+1)=dx, то окончательно это уравнение можно переписать в виде d(y-2)/(y-2)²-d(x+1)/(x+1)³=0. Интегрируя, находим -1/(y-2)+1/[2*(x+1)²]=C, где C - произвольная постоянная. Используя теперь условие y(0)=0, получаем уравнение 1/2+1/2=С, откуда C=1. Тогда искомый частный интеграл таков: -1/(y-2)+1/[2*(x+1)²]=1, или -1/(y-2)+1/[2*(x+1)²]-1=0.

Проверка: исходное уравнение можно записать в виде dy/dx=y'=(y-2)²/(x+1)³. Дифференцируя найденное решение по x и учитывая, что y есть функция от x, получаем: y'/(y-2)²-1/(x+1)³=0. Отсюда y'=dy/dx=(y-2)²/(x+1)³, то есть мы получили исходное дифференциальное уравнение. А это означает, что решение найдено верно.

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Давайте решим его:

$(x+1)^3 \cdot dy - (y-2)^2 \cdot dx = 0.$

Для начала перенесем член с дифференциалом $dx$ на одну сторону и член с дифференциалом $dy$ на другую сторону:

$(x+1)^3 \cdot dy = (y-2)^2 \cdot dx.$

Теперь разделим обе стороны на $(y-2)^2$ и $(x+1)^3$ соответственно:

$\frac{dy}{(y-2)^2} = \frac{dx}{(x+1)^3}.$

Интегрируем обе стороны:

$\int \frac{1}{(y-2)^2} \, dy = \int \frac{1}{(x+1)^3} \, dx.$

Для левой части используем замену переменной: пусть $u = y - 2$, тогда $du = dy$. Таким образом:

$\int \frac{1}{u^2} \, du = -\frac{1}{u} + C_1,$

где $C_1$ - константа интегрирования.

Для правой части интегрируем по степенному правилу:

$\int \frac{1}{(x+1)^3} \, dx = -\frac{1}{2(x+1)^2} + C_2,$

где $C_2$ - константа интегрирования.

Таким образом, наше уравнение после интегрирования примет вид:

$-\frac{1}{u} + C_1 = -\frac{1}{2(x+1)^2} + C_2.$

Теперь заметим, что $u = y - 2$, следовательно, подставим это обратно:

$-\frac{1}{y-2} + C_1 = -\frac{1}{2(x+1)^2} + C_2.$

Переупорядочим уравнение, чтобы решить относительно $y$:

$-\frac{1}{y-2} = -\frac{1}{2(x+1)^2} + C,$

где $C = C_2 - C_1$ - новая константа интегрирования.

Теперь возьмем обратную величину от обеих сторон уравнения:

$y - 2 = \frac{1}{\frac{1}{2(x+1)^2} - C}.$

Теперь решим уравнение относительно $y$:

$y = \frac{1}{\frac{1}{2(x+1)^2} - C} + 2.$

Итак, это является общим решением данного дифференциального уравнения. Для нахождения частного решения, удовлетворяющего условию $y=0$ при $x=0$, мы можем подставить эти значения и решить уравнение для $C$:

$0 = \frac{1}{\frac{1}{2(0+1)^2} - C} + 2.$

Решая это уравнение относительно $C$, получаем:

$C = \frac{1}{4}.$

Итак, частное решение будет:

$y = \frac{1}{\frac{1}{2(x+1)^2} - \frac{1}{4}} + 2.$