Question

Определите, при каких значениях параметра уравнение имеет одно решение √2−х=а−х. Ответ запишите в десятичном виде.

Answer 1

ОДЗ:

2-х≥0⇒  х≤2

Возводим в квадрат при условии, что a-x ≥0, т. е x ≤a

2-х=(а-х)²

2-х=а²-2ах+х²

х²-(2а-1)х+а²-2=0

D=(2a-1)²-4(a²-2)=4a²-4a+1-4a²+8=9-4a

Если D=0 ⇒  квадратное уравнение имеет один корень

9-4а=0

а=2,25     уравнение x²-3,5x+(49/16)=0⇒(x-1,75)²=0

x=1,75  - входит в ОДЗ.

x=1,75  -    корень уравнения

Если D>0 ⇒  квадратное уравнение имеет два  корня

D>0;  D=9-4a ⇒9-4a >0  ⇒  a < 2,25

C учетом ОДЗ: x≤2   и условия: x≤a

при  2 ≤а<2,25  уравнение имеет два корня.

Значит, при a ∈(-∞;-2) U {2,25}  уравнение имеет один корень

О т в е т.  a ∈(-∞;-2) U {2,25}

Графический способ решения.

√(2-x)=a-x

√(2-x)+x=a

Уравнение имеет вид: f(x)=g(x)

f(x)=√(2-x)+x;  g(x)=а

Строим график функции y=√(2-x)+x

Область определения x ∈(-∞;2]

$y`=\frac{1}{2\sqrt{2-x} } \cdot (2-x)`+x`;$

$y`=\frac{-1}{2\sqrt{2-x} }+1;$

$y`=\frac{-1+2\sqrt{2-x}}{2\sqrt{2-x} };$

y`=0

$-1+2\sqrt{2-x}=0$    ⇒        $2\sqrt{2-x} =1$     ⇒   $x=\frac{7}{4}$  -  точка возможного экстремума функции.

Применяем достаточное условие экстремума:

проверяем знак производной при переходе через точку.

При    $x$      y` >0   функция возрастает

При     $x>\frac{7}{4}$     y` < 0   функция убывает

y_(наиб) = y ( $\frac{7}{4}$ ) = $\sqrt{2-\frac{7}{4} } +\frac{7}{4}=\sqrt{\frac{1}{4} } +\frac{7}{4} =\frac{1}{2}+\frac{7}{4} =\frac{9}{4}$ = 2,25

Прямая y=a  пересекает график функции в одной точке

при a ∈ (-∞;2)  и  при a=2,25

О т в е т. a ∈ (-∞;2)  U{2,25}

Answer 2

Для определения значений параметра "а", при которых уравнение √2 − х = а − х имеет одно решение, мы должны рассмотреть выражение под знаком корня и убедиться, что оно равно "а".

Под знаком корня у нас стоит выражение "2 - х". Чтобы это выражение было равно "а", нужно, чтобы "2 - х" было положительным числом и равно квадрату значения "а".

Таким образом, условия для одного решения уравнения будут:

2 - х > 0 (чтобы "2 - х" было положительным) 2 - х = а^2 (чтобы "2 - х" было равно квадрату "а")

При выполнении этих условий уравнение будет иметь одно решение. Решим его.

Сначала рассмотрим условие "2 - х > 0":

2 - х > 0 х < 2

Теперь рассмотрим условие "2 - х = а^2":

2 - х = а^2 х = 2 - а^2

Таким образом, для того чтобы уравнение имело одно решение, параметр "а" должен удовлетворять условиям: а^2 < 2 и а^2 ≥ 0.

Ограничение а^2 < 2 означает, что а должно находиться в интервале (-√2, √2), исключая граничные точки.

Таким образом, ответ в десятичном виде: а ∈ (-1.414, 1.414).