Question

Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции у=х^3-6х^2+5

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

f(x)=х³-6х²+5

точки экстремума определяются по первой производной

f'(x)(x₀) = 0 - это необходимое условие экстремума функции

получим промежутки монотонности

если на промежутке f′(x)<0, то на этом промежутке функция убывает;

если на промежутке f′(x)>0, то на этом промежутке функция возрастает.

Если в окрестности критической точки f′(x) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.

решение

f'(x)=(х³)'-6(х²)' +5 = 3x² -12x +0

3x² -12x = 0; 3x(x - 4) =0; x₁ = 0; x₂= 4 - это и есть точки экстремума

промежутки монотонности функции

(-∞ ;0) (0; 4) (4; +∞)

теперь на каждом промежутке определим знак производной. для этого возьмем любую точку возле точки экстремума, принадлежащую промежутку, и посмотрим на знак производной в этой точке

(-∞ ;0) х = -1; f'(-1) = 15 > 0, функция возрастает

(0; 4)  x = 1;  f'(1) = -9 <0, функция убывает

(4; +∞)  x = 5 f'(5) = 12> 0, функция возрастает

вот, в общем-то, и все.

можно дополнительно сказать, что

в окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (+) на (-), значит, точка x = 0 - точка максимума.

в окрестности точки x = 4 производная функции меняет знак с (-) на (+), значит, точка x = 4 - точка минимума.

Answer 2

Для найти интервалы монотонности и точки экстремума функции $y = x^3 - 6x^2 + 5$, мы должны проанализировать её производные и исследовать знаки производных на различных интервалах.

1. Начнем с нахождения производных: Первая производная: $y' = 3x^2 - 12x$ Вторая производная: $y'' = 6x - 12$

2. Теперь найдем точки, где первая производная равна нулю, чтобы найти точки экстремума: $3x^2 - 12x = 0$ $3x(x - 4) = 0$

Это дает нам две возможные точки экстремума: $x = 0$ и $x = 4$.

3. Теперь проанализируем знаки первой и второй производных на разных интервалах:

   3.1. Для интервала $(-\infty, 0)$: В этом интервале, если подставить $x < 0$ в первую производную, получится отрицательное значение. А так как $y'' = 6x - 12$, то $y''$ будет также отрицательной. Следовательно, на этом интервале функция выпукла вниз ($y'' < 0$) и убывает ($y' < 0$).

   3.2. Для интервала $(0, 4)$: В этом интервале, если подставить $0 < x < 4$ в первую производную, получится положительное значение, а $y''$ также будет положительной. Это означает, что на этом интервале функция выпукла вверх ($y'' > 0$) и возрастает ($y' > 0$).

   3.3. Для интервала $(4, +\infty)$: В этом интервале, если подставить $x > 4$ в первую производную, получится снова положительное значение, а $y''$ также будет положительной. Это говорит о том, что на этом интервале функция выпукла вверх ($y'' > 0$) и возрастает ($y' > 0$).

Итак, на основе анализа производных, мы можем сделать выводы:

• Функция имеет локальный максимум в точке $x = 0$.
• Функция имеет локальный минимум в точке $x = 4$.

Интервалы монотонности:

• Функция убывает на интервале $(-\infty, 0)$.
• Функция возрастает на интервалах $(0, 4)$ и $(4, +\infty)$.