Question

Т81) Найдите все решения уравнения на отрезке [0; pi ] sin3x= cos(x- pi/6)Спасибо!​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

два решения) ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

Answer 2

Для нахождения решений уравнения sin(3x) = cos(x - π/6) на интервале [0, π], давайте сначала перепишем уравнение, используя тригонометрические тождества. Мы знаем следующее:

cos(x - π/6) = cos(x)cos(π/6) + sin(x)sin(π/6) = (sqrt(3)/2)cos(x) + (1/2)sin(x).

Исходное уравнение примет следующий вид:

sin(3x) = (sqrt(3)/2)cos(x) + (1/2)sin(x).

Теперь мы можем решить это уравнение на интервале [0, π]. Для этого разделим оба члена на cos(x):

(sin(3x) / cos(x)) = (sqrt(3)/2) + (1/2)(sin(x) / cos(x)).

Теперь вспомним, что tan(x) = sin(x) / cos(x). Заменяем tan(x):

tan(3x) = (sqrt(3)/2) + (1/2)tan(x).

Теперь давайте рассмотрим значение tan(3x) на интервале [0, π]. Тангенс изменяется от минус бесконечности до плюс бесконечности на каждом периоде π, начиная с x = 0. Таким образом, у нас есть бесконечно много периодов для tan(3x) на [0, π].

Теперь мы хотим найти такие значения x, при которых:

tan(3x) = (sqrt(3)/2) + (1/2)tan(x).

Мы видим, что tan(3x) не зависит от x и всегда равен какому-то постоянному значению (sqrt(3)/2) + (1/2)tan(x), которое не изменяется в пределах одного периода на интервале [0, π].

Поэтому, чтобы найти решения на интервале [0, π], нам нужно просто найти, при каких значениях x:

tan(x) = (sqrt(3)/2) + (1/2)tan(x),

или

tan(x) - (1/2)tan(x) = (sqrt(3)/2).

(1/2)tan(x) = (sqrt(3)/2).

Теперь делим обе стороны на (1/2):

tan(x) = sqrt(3).

Теперь найдем все значения x на интервале [0, π], для которых tan(x) = sqrt(3). Это происходит, когда x равно π/3 или 4π/3, так как тангенс имеет период π.

Таким образом, решения уравнения sin(3x) = cos(x - π/6) на интервале [0, π] - это x = π/3 и x = 4π/3.