Question

Объясните, пожалуйста, как решать подобные неравенства(с корнями)? sqrt(x^2-3x-10)/(x+2)<=x-5 Я разложил подкоренное на множители: sqrt((x+2)(x-5))/(x+2)<=x-5 привел к общему: (sqrt((x+2)(x-5))-x^2+3x+10)/(x+2) <= 0 снова разложил на множители и *-1: ((x-5)(x+2)-sqrt((x+2)(x-5)))/(x+2) >=0 вынес за скобку: (sqrt((x-5)(x+2))(sqrt((x-5)(x+2)) - 1))/(x+2) >=0 Но не знаю, что дальше делать. Вроде сократить нельзя, т.к х>-2

Answer 1

$\dfrac{\sqrt{x^2-3x-10}}{x+2}\leq x-5\bigskip\\\dfrac{\sqrt{(x-5)(x+2)}-(x-5)(x+2)}{x+2}\leq 0\bigskip\\\dfrac{\sqrt{(x-5)(x+2)}\left(1-\sqrt{(x-5)(x+2)}\right)}{x+2}\leq 0$

• Из первого сомножителя числителя получим (объединим корни и ОДЗ):

$\left[\begin{gathered}x\geq 5 \smallskip \\ x\leq -2\end{gathered}$

• Корни второго сомножителя:

$\sqrt{(x-5)(x+2)}=1\iff x^2-3x-10=1\iff x^2-3x-11=0\bigskip\\x_{1{,}2}=\dfrac{3\pm\sqrt{9+44}}{2}=\dfrac{3\pm \sqrt{53}}{2}$

• Из знаменателя:

$x\neq -2$

Теперь применим метод интервалов:

• Поймем, где расположены корни второго сомножителя числителя:

$\dfrac{3-\sqrt{53}}{2}\vee -2\iff 3-\sqrt{53}\vee -4 \iff 7\vee \sqrt{53}\iff 49 < 53\bigskip\\ \dfrac{3+\sqrt{53}}{2}\vee 5\iff 3+\sqrt{53}\vee 10\iff \sqrt{53}\vee 7\iff 53 > 49$

• Применим метод интервалов, учтя, что, проходя через корень $x=5$, уравнение не поменяет знака, поскольку это корень первого сомножителя числителя, но он неотрицателен (см. приложение)

Ответ. $x\in\left[\dfrac{3-\sqrt{53}}{2};-2\right) \bigcup \left[\dfrac{3+\sqrt{53}}{2};+\infty \right)$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую часть неравенства по отдельности.

1. Рассмотрим выражение под корнем: sqrt((x+2)(x-5)). Чтобы неравенство было определено, необходимо, чтобы это выражение было неотрицательным. То есть (x+2)(x-5) >= 0.

2. Рассмотрим вторую часть неравенства: sqrt((x-5)(x+2)) - 1. Также требуется, чтобы это выражение было неотрицательным: sqrt((x-5)(x+2)) - 1 >= 0.

Теперь решим эти два неравенства по отдельности:

1. (x+2)(x-5) >= 0: Разбиваем на интервалы, где каждый интервал определяет знак выражения: x < -2: Знак + * -2 < x < 5: Знак - * x > 5: Знак + * Таким образом, неравенство выполняется, когда x <= -2 и x >= 5.

2. sqrt((x-5)(x+2)) - 1 >= 0: Добавляем 1 к обеим сторонам и возводим в квадрат: (x-5)(x+2) >= 1 Разбиваем на интервалы: x < -2: Знак + * -2 < x < 5: Знак - * x > 5: Знак + * Таким образом, неравенство выполняется, когда x <= -2 и x >= 5.

Теперь объединим результаты двух неравенств:

x <= -2 и x >= 5

Итак, решением исходного неравенства будет множество всех значений x, таких что x <= -2 и x >= 5.