Question

Т76) Найдите область значений функции y=cos^2(2x)- tg2xctg2x Преобразовала выражение в -(sin2x)^2 .Получилась область значений [-1;0] . Но я не учла еще что-то, ибо ответ тот же, только в круглых скобках .Меня интересует момент, когда ⩽ ⩽ превращаются в < <. Я так понимаю, это из-за cos и sin, которые в знаменателе у tg и ctg. Но хотелось бы увидеть четкое решение данного задания. Заранее большое спасибо!​

Answer 1

Ответ Е(у) =(-1;0)

Решение прилагаю

Answer 2

Давайте рассмотрим вашу функцию и попробуем понять, как она ведет себя в разных интервалах.

Исходная функция: $y = \cos^2(2x) - \tan(2x)\cot(2x)$

Вы уже правильно преобразовали выражение в $-\sin^2(2x)$. Теперь мы можем видеть, что функция всегда находится в диапазоне от $-1$ до $0$, так как $\sin^2(2x)$ находится в пределах от $0$ до $1$, а минус в начале инвертирует значения. Таким образом, вы правильно определили область значений как $[-1, 0]$.

Относительно вопроса о знаках "<=" и "<", вы можете вспомнить, что функции $\cos(2x)$ и $\sin(2x)$ изменяются на интервале $[0, \pi]$ от $1$ до $-1$ и обратно. Таким образом, при использовании $\leq$ и $\geq$, вы учитываете граничные значения (равенство). Когда вы переходите к использованию "<" и ">", вы просто исключаете эти граничные значения и смотрите на строгие неравенства.

В вашем случае, так как функция $\sin^2(2x)$ всегда находится в пределах $[0, 1]$, то и функция $-\sin^2(2x)$ всегда будет находиться в пределах $[-1, 0]$, как вы уже выяснили.

Итак, в данном случае переход от "<=" и ">=" к "<" и ">" не изменит область значений, так как функция не может выйти за границы $[-1, 0]$.