Question

11. Часть учащихся школы занимаются музыкой (множество A), а другая часть – спортом (можество В). Число учащихся, занимающихся и музыкой, и спортом (АПВ) в 3 раза меньше числа учащихся, занимающихся только музыкой и в 4 раза меньше числа учащихся, акмающихся только спортом. Найдите число элементов множеств А и В, если число учахся занимающихся музыкой или спортом 160 человек.

Answer 1

Ответ:

60,80

Пошаговое объяснение:

Предположим, что одновременно музыкой и спортом занимаются х человек. Тогда тех, кто занимается только музыкой, 3х человек (так как их по условию в 3 раза больше). А учащихся, занимающихся толко спортом, 4х человек (так как их по условию в 4 раза больше). По условию, музыкой или спортом занимаются 160 человек. Составим уравнение:

3х + х + 4х = 160,

8х = 160,

х = 160 : 8,

х = 20.

Таким образом, учащихся, занимающихся одновременно и музыкой, и спортом, 20 человек. Тогда только музыкой занимаются 3*20 = 60 человек, только спортом 4*20 = 80 человек.

Выяснили, что есть 20 учащихся, которые занимаются и музыкой и спортом, и ещё 60 учащихся-музыкантов. Значит, общее количество учащихся, которые занимаются музыкой: 20 + 60 = 80 человек (число элементов множества А).

Всё также есть 20 человек, которые занимаются и музыкой, и спортом, и ещё 80 учащихся-спортсменов,. Значит, общее количество учеников, которые занимаются спортом: 20 + 80 = 100 человек (число элементов множества В).

Проверка:

60 + 20 + 80 = 160

160 = 160.

Ответ: число элементов множества А составляет 60, множества В - 80.

Answer 2

Обозначим количество учеников, занимающихся музыкой, как |A|, количество учеников, занимающихся спортом, как |B|, количество учеников, занимающихся и музыкой, и спортом, как |A∩B| (это число входит в оба множества A и B), количество учеников, занимающихся только музыкой, как |A - A∩B|, и количество учеников, занимающихся только спортом, как |B - A∩B|.

Известно, что:

• |A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| (общее число учеников, занимающихся музыкой или спортом)
• |A∪B| = 160 (дано)

Также из условия:

• |A∩B| = 3 * (|A - A∩B|) (число учеников, занимающихся и музыкой, и спортом в 3 раза меньше числа учеников, занимающихся только музыкой)
• |A∩B| = 4 * (|B - A∩B|) (число учеников, занимающихся и музыкой, и спортом в 4 раза меньше числа учеников, занимающихся только спортом)

Соответственно, у нас есть система уравнений:

1. |A∪B| = 160
2. |A∩B| = 3 * (|A - A∩B|)
3. |A∩B| = 4 * (|B - A∩B|)

Теперь подставим выражение для |A∩B| из уравнения (2) в уравнение (3): 4 * (|B - A∩B|) = 3 * (|A - A∩B|) |B - A∩B| = (3/4) * (|A - A∩B|)

Следовательно, сумма элементов множеств A и B, без учёта их пересечения, равна (|A - A∩B|) + (|B - A∩B|), а это выражение равно: (|A - A∩B|) + (3/4) * (|A - A∩B|) = (7/4) * (|A - A∩B|)

Так как это выражение равно количеству учеников, занимающихся только музыкой и только спортом, мы можем записать следующее: (|A - A∩B|) + (7/4) * (|A - A∩B|) = (7/4 + 1) * (|A - A∩B|) = (11/4) * (|A - A∩B|)

Из условия также известно, что это число равно 160 (общее число учеников, занимающихся только музыкой и только спортом): (11/4) * (|A - A∩B|) = 160

Теперь мы можем найти |A - A∩B|: |A - A∩B| = (4/11) * 160 = 58.18 (округлим до 58)

Теперь, найдем |A∩B| из уравнения (2): |A∩B| = 3 * (|A - A∩B|) = 3 * 58 = 174

Теперь, мы можем найти |B - A∩B| из уравнения (3): |B - A∩B| = (1/4) * |A∩B| = (1/4) * 174 = 43.5 (округлим до 43)

Теперь мы можем найти |B|: |B| = |B - A∩B| + |A∩B| = 43 + 174 = 217

И, наконец, мы можем найти |A|: |A| = |A∪B| - |B| = 160 - 217 = -57

Что-то пошло не так в рассуждениях, так как не может быть отрицательного числа учеников. Возможно, была допущена ошибка при интерпретации или записи условия задачи. Пожалуйста, проверьте условие еще раз или уточните его.