Question

Исследуйте функцию fx=3x2-12x+1 на экстремумы.

Answer 1

Ответ:

х=2 точка минимума.

Пошаговое объяснение:

f(x)=3x²-12x+1

Найдем производную функции  у'=6х-12.

у'=0  ,  6х-12=0  , х=2.

Точка х₀=2 точка минимума , т.к.  производная меняет свой знак с - на +

у'          -                             +                        

-----------------------(2)--------------------------

у     убыв         min          возраст        

Answer 2

1. Найдём производную данной функции:

$f'(x)=(3x^2-12x+1)'=(3x^2)'-(12x)'+(1)'=2\cdot3x^{2-1}-12\cdot1+0=\boxed{6x-12}$

2. Находим критические (стационарные) точки:

$6x-12=0 \\ \\ 6x=0+12 \\ \\ 6x=12 \\ \\ x=\dfrac{12}{6}=\dfrac{2}{1}=2$

3. Исследуем критические точки на экстремум :

----------------- 2 ++++++++++++

• Функция убывает на промежутке $(-\infty; \: 2]$.

• Функция возрастает на промежутке $[2; \: +\infty)$.

Значит $x=2$ - точка минимума.

4. Найдём критические значения функции в точке минимума:

$y_{min}=y(2)=3\cdot2^2-12\cdot2+1=12-24+1=-12+1=-11$

Answer 3

Для исследования функции на экстремумы, нам нужно найти её производную и выяснить, где она равна нулю. Это позволит нам определить точки, в которых функция может иметь локальные экстремумы.

Итак, дана функция: $f(x) = 3x^2 - 12x + 1$.

1. Найдем производную функции $f'(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^2 - 12x + 1) = 6x - 12$.

2. Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю: $6x - 12 = 0$. Решая это уравнение, получим: $x = 2$.

Таким образом, у нас есть одна точка $x = 2$, в которой производная равна нулю.

3. Чтобы определить, является ли эта точка экстремумом, нужно проанализировать знак производной в окрестности этой точки:
   • При $x < 2$, $f'(x) < 0$, что означает, что функция убывает.
   • При $x > 2$, $f'(x) > 0$, что означает, что функция возрастает.

Изменение знака производной отрицательного к положительному при $x = 2$ указывает на то, что у функции есть локальный минимум в точке $x = 2$.

Теперь мы можем найти значение функции в этой точке: $f(2) = 3 \cdot 2^2 - 12 \cdot 2 + 1 = 12 - 24 + 1 = -11$.

Итак, у функции $f(x) = 3x^2 - 12x + 1$ есть локальный минимум в точке $x = 2$ с значением $f(2) = -11$.

Обратите внимание, что этот анализ основан на первой производной функции. Чтобы полностью убедиться в типе экстремума (минимум или максимум), а также в том, что это действительно экстремум, необходимо провести более подробное исследование, включая анализ второй производной и поведения функции в окрестности точки.