Question

Найти сумму корней на отрезке [-3п; -2п] ответ дать в градусах cosx * ctgx + cosx - ctgx = 1

Answer 1

ОДЗ:

sinx≠0⇒  x≠πk, k∈ Z

При этих значениях не существует ctgx

$></p> <p><em>Раскладываем на множители способом группировки:</em></p> <p><img src=$

$cosx(ctgx +1)-(ctgx+1)=0$

$(ctgx +1)(cosx-1)=0$

$ctgx +1=0$           или             $cosx-1=0$

$ctgx =-1$                или              $cosx=1$

$x=-\frac{\pi }{4}+\pi n, n\in Z$  или           $x=2\pi m, m \in Z$   не входят в ОДЗ

$x=-\frac{\pi }{4}+\pi n, n\in Z$   -  корни уравнения

Отрезку [-3π;-2π]  принадлежит корень

$x=-\frac{\pi }{4}-2\pi=-\frac{9\pi }{4}$   или   -9·45°=-405°

О т в е т. -405°

Answer 2

Давайте разберемся с каждым вопросом по очереди.

1. Сумма корней на отрезке $[-3\pi; -2\pi]$:

На отрезке $[-3\pi; -2\pi]$ имеется полное оборотное количество угловых единиц (360 градусов или $2\pi$ радиан), поэтому можно утверждать, что корни на этом интервале будут располагаться на целом количестве оборотов вокруг окружности. Каждый оборот даёт два корня, так как корни повторяются с периодом $2\pi$.

Следовательно, сумма корней на этом интервале будет равна нулю.

2. Уравнение $\cos x \cdot \cot x + \cos x - \cot x = 1$:

Для начала, давайте перепишем $\cot x$ как $\frac{\cos x}{\sin x}$:

$\cos x \cdot \cot x + \cos x - \cot x = 1$
$\cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} + \cos x - \frac{\cos x}{\sin x} = 1$
$\frac{\cos^2 x}{\sin x} + \cos x - \frac{\cos x}{\sin x} = 1$
$\frac{\cos^2 x - \cos x}{\sin x} = 1$
$\frac{\cos x (\cos x - 1)}{\sin x} = 1$

Теперь мы можем умножить обе стороны на $\sin x$:

$\cos x (\cos x - 1) = \sin x$

Используем тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, чтобы выразить $\sin x$ через $\cos x$:

$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x}$

Теперь подставим это значение в уравнение:

$\cos x (\cos x - 1) = \sqrt{1 - \cos^2 x}$

Рассмотрим два случая: когда $\cos x \neq 1$ и $\cos x = 1$.

Когда $\cos x \neq 1$, мы можем возвести обе стороны уравнения в квадрат:

$\cos^2 x (\cos x - 1)^2 = 1 - \cos^2 x$

$\cos^2 x (\cos^2 x - 2\cos x + 1) = 1 - \cos^2 x$

$\cos^4 x - 2\cos^3 x + \cos^2 x = 1 - \cos^2 x$

$\cos^4 x - 2\cos^3 x = 1$

Полученное уравнение сложно решить в общем случае аналитически. Мы можем использовать численные методы, такие как метод Ньютона, для приближенного нахождения корней.

Когда $\cos x = 1$, уравнение превращается в тождество и выполняется для всех значений $x$.

Пожалуйста, обратите внимание, что решение уравнения в общем виде может потребовать численных методов, так как оно не разрешимо аналитически.