Question

Производная функции y= e^x/x+1 равна ​

Answer 1

$\displaystyle\\\left(\frac{e^x}{x}+1\right)' = \frac{xe^x-e^x}{x^2} = \frac{x-1}{x^2}e^x$

Answer 2

Давайте найдем производную функции $y = \frac{e^x}{x + 1}$ с помощью правила дифференцирования частного.

Правило дифференцирования частного гласит, что производная частного двух функций $u(x)$ и $v(x)$ равна:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$$

В данном случае, $u(x) = e^x$ и $v(x) = x + 1$. Теперь найдем производные этих функций:

$u'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x$

$v'(x) = \frac{d}{dx}(x + 1) = 1$

Теперь подставим эти значения в формулу для производной частного:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{e^x}{x + 1}\right) = \frac{e^x(x + 1) - e^x \cdot 1}{(x + 1)^2}$$

Упростим числитель:

$$e^x(x + 1) - e^x = e^x(x + 1 - 1) = e^x \cdot x$$

Теперь подставим это обратно в формулу:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{e^x}{x + 1}\right) = \frac{e^x \cdot x}{(x + 1)^2}$$

Итак, производная функции $y = \frac{e^x}{x + 1}$ равна:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{e^x}{x + 1}\right) = \frac{e^x \cdot x}{(x + 1)^2}$$