Question

Через вершину A некоторого угла, равного 120◦, проведена окружность, пересекающая стороны угла в точках B и D, а его биссектрису — в точке C. Найти площадь четырехугольника ABCD, если сумма длин отрезков AB и AD равна 2.

Answer 1

Ответ:

√3

Пошаговое объяснение:

Не теряя общности, положим AD ≤ AB. Опустим перпендикуляры CK и CM на стороны угла. Обозначим AD = x, DK = y.

Так как AC — биссектриса, точка C равноудалена от сторон угла, то есть CK = CM. Прямоугольные треугольники AKC и AMC равны по катету (CK = CM) и гипотенузе (AC — общая) ⇒ AK = AM = x + y.

Так как ∠DAC = ∠BAC, DC = BC как хорды, на которые опираются равные углы. Прямоугольные треугольники DKC и BMC равны по катету (CK = CM) и гипотенузе (DC = BC) ⇒ DK = BM = y.

По условию AB + AD = (x + y + y) + x = 2(x + y) = 2 ⇒ x + y = 1. Тогда AM = x + y = 1. В прямоугольном треугольнике AMC ∠ACM = 90° - ∠CAM = 90° - 60° = 30°. По теореме об угле в 30° AC = 2AM = 2.

$S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin{60^{\circ}}+\dfrac{1}{2}\cdot AD\cdot AC\cdot\sin{60^{\circ}}=\\=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot\sin{60^{\circ}}\cdot (AB+AD)=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2=\sqrt{3}$

Answer 2

Для решения задачи нам понадобятся некоторые геометрические свойства углов и треугольников.

По условию, у нас есть угол ABC, где угол BAC равен 120°. Мы также знаем, что сумма длин отрезков AB и AD равна 2.

Для начала, построим окружность через вершину A, пересекающую стороны угла в точках B и D. Обозначим центр этой окружности как O.

Так как биссектриса угла BAC проходит через центр окружности O, она является радиусом окружности AO.

Поскольку биссектриса угла делит его на два равных угла, угол BAO равен 60°.

Также мы знаем, что AB + AD = 2. Поскольку эти отрезки пересекают окружность в точках B и D, мы можем сказать, что длины дуг AB и AD на окружности равны соответственно длинам отрезков AB и AD.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Он является равнобедренным, так как AB = AC (радиус окружности). Также угол BAC равен 120°.

Таким образом, угол ABC равен 30° (так как сумма углов треугольника должна быть равна 180°).

Теперь мы можем найти угол BCA. Сумма углов треугольника BCA должна быть равна 180°. У нас уже есть углы ABC (30°) и BAC (120°). Таким образом, угол BCA равен 180° - 30° - 120° = 30°.

Таким образом, треугольник BCA является равнобедренным с углом BCA равным 30° и сторонами BC и AC равными.

Теперь мы можем найти площадь треугольника BCA, используя формулу площади треугольника: S = 0.5 * сторона * сторона * sin(угол).

Площадь треугольника BCA: S_1 = 0.5 * BC * AC * sin(BCA) = 0.5 * BC * AC * sin(30°).

Так как BC = AC (так как треугольник BCA равнобедренный), мы можем записать:

S_1 = 0.5 * BC * BC * sin(30°) = 0.5 * BC^2 * 0.5 = 0.25 * BC^2.

Теперь