Question

Сколько9-значных чисел, делящихся на2, можно составить путём перестановки цифр числа131152152?​

Answer 1

Ответ:

840

Пошаговое объяснение:

Если число делится на 2, то его последняя цифра четна. Среди цифр числа 131152152 из четных цифр присутствует лишь цифра 2. Она и будет стоять на последнем месте.

Осталось 8 мест и цифры: 1 - 4 штуки, 2 - 1 штука, 3 - 1 штука, 5 - 2 штуки.

А значит число искомых чисел равно числу упорядоченных разбиений множества из 8 мест на 4 множества мощности 4, 1, 1 и 2 (каждому множеству соответствует одна из цифр 1, 2, 3 или 5), т.е. числу перестановок с повторениями $P(4,1,1,2)=\dfrac{8!}{4!1!1!2!}=4*7*6*5=840$

____________________________________

Последняя формула может быть получена следующими рассуждениями:

сначала расставим 4 единицы на каких-то из свободных 8 мест. Сделать это можно $C_8^4=\dfrac{8!}{4!4!}$ способами. Незанятыми остались 8-4=4 места. На этих 4 местах расставим 1 двойку. Сделать это можно $C_4^1=\dfrac{4!}{1!3!}$ способами. И т.д.

По правилу произведения кол-во чисел равно $C_8^4C_4^1C_3^1C_2^2=\dfrac{8!}{4!4!}\dfrac{4!}{1!3!}\dfrac{3!}{1!2!}\dfrac{2!}{2!0!}=\dfrac{8!}{4!1!1!2!}=840$

Answer 2

Чтобы определить количество 9-значных чисел, полученных путем перестановки цифр числа 131152152 и делящихся на 2, нужно учесть несколько факторов.

1. Поскольку число заканчивается на 2, оно должно быть четным, и для этого необходимо, чтобы последняя цифра была 2 или 6.

2. Так как число состоит из 9 цифр, а последняя цифра уже определена, остается 8 цифр, которые нужно переставить. Однако среди них дважды встречается цифра 1, поэтому варианты перестановки не будут уникальными.

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику. Варианты перестановки 8 цифр можно вычислить по формуле 8!, где ! обозначает факториал. Однако мы должны разделить это число на 2!, поскольку две цифры 1 эквивалентны.

Итак, количество возможных перестановок будет равно:

8! / 2!

Вычислим это значение:

8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40,320

2! = 2 × 1 = 2

Теперь разделим 40,320 на 2:

40,320 / 2 = 20,160

Таким образом, можно составить 20,160 различных 9-значных чисел, делящихся на 2, путем перестановки цифр числа 131152152.