Question

Исследовать функцию двух переменных на экстремум. z=3x+3y-(x^2)-xy-(y^2)+6

Answer 1

Исследовать функцию $z= 3x + 3y - x^{2} - xy - y^{2} + 6$ на экстремум.

Answer 2

Чтобы исследовать функцию z = 3x + 3y - x^2 - xy - y^2 + 6 на экстремум, нам понадобится вычислить ее частные производные по x и y, а затем решить систему уравнений, приравнивая эти производные к нулю.

1. Частная производная по x: ∂z/∂x = 3 - 2x - y

2. Частная производная по y: ∂z/∂y = 3 - x - 2y

Теперь приравняем обе производные к нулю и решим систему уравнений:

1. 3 - 2x - y = 0
2. 3 - x - 2y = 0

Решим первое уравнение относительно y: y = 3 - 2x

Подставим значение y во второе уравнение: 3 - x - 2(3 - 2x) = 0 3 - x - 6 + 4x = 0 3x - 3 = 0 3x = 3 x = 1

Теперь найдем значение y, подставив x = 1 в первое уравнение: y = 3 - 2(1) = 3 - 2 = 1

Таким образом, точка (x, y) = (1, 1) является критической точкой функции.

Для того чтобы определить, является ли эта критическая точка максимумом или минимумом, нужно проанализировать вторые производные функции в этой точке. Вычислим их:

1. Частная производная второго порядка по x: ∂²z/∂x² = -2

2. Смешанная производная второго порядка по x и y: ∂²z/∂x∂y = -1

3. Частная производная второго порядка по y: ∂²z/∂y² = -2

Теперь вычислим определитель гессиана:

Det(H) = (∂²z/∂x²) * (∂²z/∂y²) - (∂²z/∂x∂y)^2 = (-2) * (-2) - (-1)^2 = 4 - 1 = 3

Определитель гессиана положительный (Det(H) > 0), а частная производная второго порядка по x отрицательна (∂²z/∂x² < 0). Это говорит о том, что критическая точка (1, 1) является локальным максимумом функции.

Итак, функция z = 3x + 3y - x^2 - xy - y^2 + 6 имеет лок