Question

ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ В стране N есть город и еще 100 деревень. Определенные деревни (в том числе и город) соединены дорогами с односторонним движением. Из любой деревни выходит 18 дорог, и в любую деревню входит 19 дорога. Докажите, что ни из одной деревни невозможно добраться до города

Answer 1

Т.к. дороги односторонние, то общее число исходящих концов дорог в стране равно числу входящих концов.

Пусть в город входит а дорог, а выходит из него b дорог.

Тогда исходящих концов в стране в сумме 18*100+b, а входящих - 19*100+а => 1800+b=1900+a => b=a+100

Очевидно, больше 100 дорог исходить из города не может (вариантов, куда может вести такая дорога всего 100). => b≤100 => а+100≤100 => а≤0 => a=0 - в город не ведёт ни одна дорога

Ч.т.д.

Answer 2

Будем доказывать методом от противного. Предположим, что из деревень можно добраться до города с помощью х дорог. (х>0), тогда всего таких дорог 1900+х. число дорог, из которых можно выехать или меньше, или равно

1800 + (100 – х)=1900-х, получаем неравенство.

1900-х≥1900+х

-2х≥0

х≤0, пришли в противоречие с тем, что х>0.

Значит, доказано, что ни из одной деревни невозможно добраться до города.

Answer 3

Давайте предположим, что из какой-то деревни можно добраться до города. Рассмотрим этот случай.

Поскольку из любой деревни выходит 18 дорог, а в любую деревню входит 19 дорог, то при условии, что из какой-либо деревни можно добраться до города, в эту деревню также должно входить как минимум одно направление из города. Это означает, что количество входящих дорог в эту деревню должно быть как минимум 20 (19 дорог из деревень + 1 дорога из города).

Но по условию задачи из любой деревни выходит только 18 дорог. Это противоречие. Следовательно, наше предположение о том, что из какой-то деревни можно добраться до города, неверно.

Таким образом, мы доказали, что ни из одной деревни невозможно добраться до города.