Question

Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, одна вершина которая лежит в начале координат, другая - на графике функции у=3х(х-8)^2. (0<х<8) А вершине прямого угла расположена на ось х

Answer 1

S=(1/2)ab

a=x

b=y=3х(х-8)²

S(x)=(1/2)x·х(х-8)²

Исследовать  функцию на экстремум с помощью производной на (0;8)

S`(x)=(1/2)·((x^2-8x)^2)`=(1/2)·2(x^2-8x)·(x^2-8x)`=(x^2-8x)·(2x-8)

S`(x)=0

x=0; x=4; x=8

Знак производной на (0;8)

(0) __+__ (4) __-___ (8)

x=4 - точка максимума.

S(4)=(1/2)·4^2·(4-8)²=128

Answer 2

Чтобы найти прямоугольный треугольник с наибольшей площадью, одна из вершин которого находится в начале координат (0,0), а вершина прямого угла находится на оси x, мы можем воспользоваться геометрическими свойствами функции.

Первым шагом будет найти точку на графике функции, где достигается максимум значения у=3x(x-8)^2 в интервале 0 < x < 8.

Производная функции у=3x(x-8)^2: y' = 3(x-8)^2 + 6x(x-8) y' = 3(x^2 - 16x + 64) + 6x^2 - 48x y' = 3x^2 - 48x + 192 + 6x^2 - 48x y' = 9x^2 - 96x + 192

Чтобы найти экстремум, приравняем производную к нулю: 9x^2 - 96x + 192 = 0

Решая это уравнение, мы найдем две корня: x = 4 и x = 8. Так как x должен находиться в интервале 0 < x < 8, то выбираем x = 4 как точку, где функция достигает максимума.

Теперь, найдя точку (4, y) на графике функции, можем построить треугольник с вершинами в (0,0), (4, y) и (8, 0). Этот треугольник будет прямоугольным, так как одна из вершин будет находиться в начале координат, а другая вершина будет находиться на оси x.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: S = (1/2) * a * b, где a и b - длины катетов треугольника.

Длина катета a (от начала координат до точки (4, y)) равна y = 3 * 4 * (4 - 8)^2 = 3 * 4 * 16 = 192.

Длина катета b (от точки (4, y) до точки (8, 0)) равна разнице по оси x: b = 8 - 4 = 4.

Таким образом, площадь треугольника будет: S = (1/2) * 192 * 4 = 384.

Итак, наибольшая площадь прямоугольного треугольника составляет 384 квадратных единиц.