Question

Футбольний мяч зшитий з 32 клаптів: білих шестикутників і чорних пятикутників. Кожен чорний клапоть межує з пятьма білими, а кожен білий — з трьома чорними і трьома білими. Скільки клаптів білого кольору?

Answer 1

Пусть х - количество белых лоскутов.
Тогда 32-х - количество черных лоскутков.
Каждый белый лоскут входит в 3 пары, в которой между лоскутами разного цвета есть граница.
Таких: пар Зх.
Каждый черный входит в 5 пар, в которой между лоскутами разного цвета есть граница.
Таких пар: 5(32-х).
Поскольку мы говорим о парах, то очевидно, что количество пар, где белый лоскуток граничит с чёрным, равно количеству пар, где чёрный лоскуток граничит с белым.
Уравнение:
Зх = 5(32-х)
3х = 160 - 5х
3х + 5х = 160
8х = 160
х= 160:2
х = 20 - количество лоскутов белого цвета.

Answer 2

Позначимо кількість білих клаптів як "x" і чорних клаптів як "y". За умовою задачі, ми маємо систему рівнянь:

1. Кожен чорний клапоть межує з п'ятьма білими, отже, кількість граней між білими і чорними клаптями дорівнює 5y.
2. Кожен білий клапоть межує з трьома чорними і трьома білими, отже, кількість граней між білими і білими клаптями дорівнює 3x.

Загальна кількість граней в м'ячі визначається формулою для полігонів:

Кількість граней = Кількість вершин + Кількість ребер - 2.

У м'ячі 32 клапти, що має 32 вершини (клапти) і 90 ребер (граней), отже, маємо:

32 = 32 + 90 - 2,

або

90 = 2 + 32 + 32.

Тепер ми можемо розглянути рівняння відповідно до кількості граней між клаптями:

5y = 32 + 2, (для граней між чорними і білими) 3x = 32 + 2. (для граней між білими і білими)

Отже, маємо:

5y = 34, 3x = 34.

Розв'яжемо систему рівнянь, поділивши обидва рівняння на відповідні коефіцієнти:

y = 34 / 5 = 6.8, x = 34 / 3 = 11.3.

Оскільки кількість клаптів повинна бути цілим числом, то ми обираємо найближчі цілі числа:

y ≈ 7, x ≈ 11.

Отже, в м'ячі є близько 7 чорних клаптів і близько 11 білих клаптів.