Question

Вычислите пожалуйста, срочно надо 1) (1-i)^10 2) sqrt 16i

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) Представим число в тригонометрическом виде

$|z|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2} \\arg(z)=arctg(\frac{1}{-1})=-\frac{\pi }{4} \\ z=\sqrt{2}(cos( -\frac{\pi }{4})+isin(-\frac{\pi }{4})\\z^{10}=(\sqrt{2})^{10}(cos(10*(-\frac{\pi }{4})+isin(10*(-\frac{\pi }{4}))\\z^{10}=32( cos(-\frac{\pi }{2})+isin(-\frac{\pi }{2}))\\z^{10}=-32i$

 

2)$></p> </div> <div class=$ 0 0

Answer 2

Конечно, я помогу вам вычислить эти выражения.

1. Для вычисления $(1 - i)^{10}$ можно воспользоваться биномом Ньютона:

$(a - b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$,

где $\binom{n}{k}$ - биномиальный коэффициент, равный $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае $a = 1$, $b = i$, $n = 10$. Тогда:

$(1 - i)^{10} = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} 1^{10-k} i^{k}$.

Так как $i^{2} = -1$, то:

$(1 - i)^{10} = \binom{10}{0} 1^{10} i^{0} + \binom{10}{1} 1^{9} i^{1} + \binom{10}{2} 1^{8} i^{2} + \ldots + \binom{10}{10} 1^{0} i^{10}$.

Сокращаем нулевые степени и значения биномиальных коэффициентов:

$(1 - i)^{10} = 1 + 10i - 45 - 120i + 210 + 252i - 210 - 120i + 45 + 10i - 1$.

Теперь складываем вместе одинаковые степени $i$:

$(1 - i)^{10} = (1 - 45 + 210 - 210 + 45) + (10i - 120i + 252i - 120i + 10i) = 1 + 10i$.

Итак, $(1 - i)^{10} = 1 + 10i$.

2. Для вычисления $\sqrt{16i}$, давайте сначала найдем модуль и аргумент числа $16i$:

Модуль: $|16i| = 16$.

Аргумент: $arg(16i) = \frac{\pi}{2}$, так как $16i$ лежит на положительной полуоси мнимой оси.

Теперь, чтобы найти квадратный корень из $16i$, нужно взять квадратный корень из его модуля и поделить аргумент на 2:

$\sqrt{16i} = \sqrt{16} \cdot (\cos(\frac{\pi}{4}) + i \cdot \sin(\frac{\pi}{4})) = 4 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i$.

Итак, $\sqrt{16i} = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i$