Question

Ваня последовательно разделил задуманное им натуральное число на 4, на 5 и на 9, получив в каждом из случаев некоторый остаток. Сумма этих остатков равна 15. Какой остаток даёт задуманное Ваней число при делении на 15?​

Answer 1

Ответ:

14

Пошаговое объяснение:

Пошаговое объяснение:Остаток при делении числа на 4 меньше или равен 3, при делении на 5 – меньше или равен 4, при делении на 9 – меньше или равен 8. Так как сумма этих остатков равна  15 =3+4+8,  они на самом деле равны соответственно 3, 4 и 8.

Если задуманное число увеличить на 1, то оно разделится на  на 4, 5 и 9, значит, оно разделится на НОД(4;5;9) =180=15*12. Но наше число на единицу меньше и это 179, поэтому задуманное число 179 при делении на 15 даёт целую часть 11 и остаток 14

Answer 2

Пусть x - задуманное Ваней натуральное число. По условию задачи, у нас есть следующие остатки:

1. При делении x на 4: остаток равен a.
2. При делении x на 5: остаток равен b.
3. При делении x на 9: остаток равен c.

Известно, что a + b + c = 15.

Для определения остатка при делении на 15 нам нужно рассмотреть остатки от деления на каждый из множителей (4, 5, 9) и их произведения:

1. Остаток a при делении x на 4.
2. Остаток b при делении x на 5.
3. Остаток c при делении x на 9.

Сначала найдем остаток d при делении на 15:

d = (a * 5 * 9 + b * 4 * 9 + c * 4 * 5) % 15

Поскольку 5 * 9 = 45, 4 * 9 = 36 и 4 * 5 = 20, упростим выражение:

d = (45a + 36b + 20c) % 15

Так как a + b + c = 15, мы можем заменить a на (15 - b - c) и подставить это в выражение для d:

d = (45 * (15 - b - c) + 36b + 20c) % 15 d = (675 - 45b - 45c + 36b + 20c) % 15 d = (675 - 9b - 25c) % 15

Теперь мы видим, что d зависит только от остатка c при делении x на 9, так как остаток b при делении на 5 не влияет на остаток при делении на 15.

Таким образом, чтобы найти остаток при делении x на 15, нам нужно найти такое значение c, при котором (675 - 9b - 25c) делится на 15 без остатка.

Исходя из суммы a + b + c = 15, одним из возможных решений является c = 5, так как это позволит нам получить d = (675 - 9b - 25 * 5) % 15 = (675 - 9b - 125) % 15 = (550 - 9b) % 15 = 5 * (110 - b) % 15 = 5 * (5 * 22 - b) % 15 = 0.

Таким образом, остаток при делении x на 15 равен 0.