Question

Для матрицы А =(1 1 3 2-2 4 3 3 5)) вычислить А^(-1)

Answer 1

Ответ:

А= -23203 или А= -2,3203×10 в 4 степени

Answer 2

Для вычисления обратной матрицы $A^{-1}$ матрицы $A$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выписать расширенную матрицу $[A \mid I]$, где $I$ - это единичная матрица того же размера, что и $A$.

2. Применить элементарные преобразования строк к матрице $[A \mid I]$ так, чтобы матрица $A$ превратилась в единичную матрицу. При этом наша расширенная матрица $[A \mid I]$ будет превращаться в $[I \mid A^{-1}]$.

3. Когда матрица $[A \mid I]$ будет приведена к виду $[I \mid A^{-1}]$, то в правой части (бывшей матрице $I$) будет находиться искомая обратная матрица $A^{-1}$.

Давайте выполним эти шаги для матрицы $A$:

1 & 1 & 3 \\ 2 & -2 & 4 \\ 3 & 3 & 5 \end{bmatrix}\] Шаг 1: Создаем расширенную матрицу \([A \mid I]\): \[ [A \mid I] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -2 & 4 & | & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 5 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Шаг 2: Применяем элементарные преобразования строк к матрице $[A \mid I]$:

• $R_2 = R_2 - 2R_1$
• $R_3 = R_3 - 3R_1$

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & -2 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & | & -3 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Теперь делим вторую и третью строки на -4:

• $R_2 = \frac{1}{4}R_2$
• $R_3 = -\frac{1}{4}R_3$

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & | & \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{3}{4} & 0 & -\frac{1}{4} \end{bmatrix}$$

Теперь мы делаем следующие шаги, чтобы превратить левую часть в единичную матрицу:

• $R_1 = R_1 - 3R_3$
• $R_2 = R_2 - \frac{1}{2}R_3$

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & \frac{3}{4} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{3}{4} & 0 & -\frac{1}{4} \end{bmatrix}$$