Question

а₁, а₂,а₃, а₄, а₅- члены арифметической прогрессии с разностью d, cosd=√0.2. Найти cos²а₃, если tga₁*tga₁2+tga₂*tga₃+tga₃*tga₄+tga₄*tga₅=4

Answer 1

$\mathrm{tg}a_1\mathrm{tg}a_2+\mathrm{tg}a_2\mathrm{tg}a_3+\mathrm{tg}a_3\mathrm{tg}a_4+\mathrm{tg}a_4\mathrm{tg}a_5=4$

Выразим через третий член и разность прогрессии все остальные члены:

$a_1=a_3-2d$

$a_2=a_3-d$

$a_4=a_3+d$

$a_5=a_3+2d$

Подставим получившиеся соотношения в уравнение:

$\mathrm{tg}(a_3-2d)\cdot\mathrm{tg}(a_3-d)+\mathrm{tg}(a_3-d)\cdot\mathrm{tg}a_3+$

$+\mathrm{tg}a_3\cdot\mathrm{tg}(a_3+d)+\mathrm{tg}(a_3+d)\cdot\mathrm{tg}(a_3+2d)=4$

Применяем формулы тангенса суммы и тангенса разности:

$\dfrac{\mathrm{tg}a_3-\mathrm{tg}2d}{1+\mathrm{tg}a_3\mathrm{tg}2d}\cdot\dfrac{\mathrm{tg}a_3-\mathrm{tg}d}{1+\mathrm{tg}a_3\mathrm{tg}d}+\dfrac{\mathrm{tg}a_3-\mathrm{tg}d}{1+\mathrm{tg}a_3\mathrm{tg}d}\cdot\mathrm{tg}a_3+$

$+\mathrm{tg}a_3\cdot\dfrac{\mathrm{tg}a_3+\mathrm{tg}d}{1-\mathrm{tg}a_3\mathrm{tg}d}+\dfrac{\mathrm{tg}a_3+\mathrm{tg}d}{1-\mathrm{tg}a_3\mathrm{tg}d}\cdot\dfrac{\mathrm{tg}a_3+\mathrm{tg}2d}{1-\mathrm{tg}a_3\mathrm{tg}2d}=4$

Из имеющегося соотношения для разности прогрессии выразим величины $\mathrm{tg}d$ и $\mathrm{tg}2d$:

$\cos d=\sqrt{0.2}$

$\mathrm{tg}^2d=\dfrac{1}{\cos^2d} -1=\dfrac{1}{0.2} -1=5-1=4$

1) $\mathrm{tg}d=2\Rightarrow \mathrm{tg}2d=\dfrac{2\mathrm{tg}d}{1-\mathrm{tg}^2d} =\dfrac{2\cdot2}{1-2^2} =-\dfrac{4}{3}$

2) $\mathrm{tg}d=-2\Rightarrow \mathrm{tg}2d=\dfrac{2\mathrm{tg}d}{1-\mathrm{tg}^2d} =\dfrac{2\cdot(-2)}{1-(-2)^2} =\dfrac{4}{3}$

Первый случай: $\mathrm{tg}d=2,\ \mathrm{tg}2d=-\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{\mathrm{tg}a_3+\frac{4}{3} }{1-\frac{4}{3}\mathrm{tg}a_3}\cdot\dfrac{\mathrm{tg}a_3-2}{1+2\mathrm{tg}a_3}+\dfrac{\mathrm{tg}a_3-2}{1+2\mathrm{tg}a_3}\cdot\mathrm{tg}a_3+$

$+\mathrm{tg}a_3\cdot\dfrac{\mathrm{tg}a_3+2}{1-2\mathrm{tg}a_3}+\dfrac{\mathrm{tg}a_3+2}{1-2\mathrm{tg}a_3}\cdot\dfrac{\mathrm{tg}a_3+\frac{4}{3} }{1-\frac{4}{3}\mathrm{tg}a_3}=4$

Замена: $\mathrm{tg}a_3=t$

$\dfrac{t+\frac{4}{3} }{1-\frac{4}{3}t}\cdot\dfrac{t-2}{1+2t}+\dfrac{t-2}{1+2t}\cdot t+t\cdot\dfrac{t+2}{1-2t}+\dfrac{t+2}{1-2t}\cdot\dfrac{t-\frac{4}{3} }{1+\frac{4}{3}t}=4$

Числитель и знаменатель первой и последней дроби умножим на 3:

$\dfrac{3t+4 }{3-4t}\cdot\dfrac{t-2}{1+2t}+\dfrac{t-2}{1+2t}\cdot t+t\cdot\dfrac{t+2}{1-2t}+\dfrac{t+2}{1-2t}\cdot\dfrac{3t-4}{3+4t}=4$

Складываем первые два слагаемых левой части уравнения:

$\dfrac{3t+4}{3-4t}\cdot\dfrac{t-2}{1+2t}+\dfrac{t-2}{1+2t}\cdot t=\dfrac{t-2}{1+2t}\cdot\left(\dfrac{3t+4}{3-4t}+t\right)=$

$=\dfrac{t-2}{1+2t}\cdot\dfrac{3t+4+t(3-4t)}{3-4t}=\dfrac{t-2}{1+2t}\cdot\dfrac{3t+4+3t-4t^2}{3-4t}=$

$=\dfrac{t-2}{1+2t}\cdot\dfrac{4+6t-4t^2}{3-4t}=\dfrac{t-2}{1+2t}\cdot\dfrac{-2(t-2)(2t+1)}{3-4t}=$

$=\dfrac{-2(t-2)^2(2t+1)}{(1+2t)(3-4t)}=-\dfrac{2(t-2)^2}{3-4t}$

Складываем последние два слагаемых левой части уравнения:

$t\cdot\dfrac{t+2}{1-2t}+\dfrac{t+2}{1-2t}\cdot\dfrac{3t-4}{3+4t}=\dfrac{t+2}{1-2t}\cdot\left(t+\dfrac{3t-4}{3+4t}\right)=$

$=\dfrac{t+2}{1-2t}\cdot\dfrac{t(3+4t)+3t+4}{3+4t}=\dfrac{t+2}{1-2t}\cdot\dfrac{3t+4t^2+3t+4}{3+4t}=$

$=\dfrac{t+2}{1-2t}\cdot\dfrac{4t^2+6t+4}{3+4t}=\dfrac{t+2}{1-2t}\cdot\dfrac{2(t+2)(2t-1)}{3+4t}=$

$=\dfrac{2(t+2)^2(2t-1)}{(1-2t)(3+4t)}=-\dfrac{2(t+2)^2}{3+4t}$

Складываем две получившиеся в предыдущих пунктах величины:

$-\dfrac{2(t-2)^2}{3-4t}-\dfrac{2(t+2)^2}{3+4t}=-2\left(\dfrac{(t-2)^2}{3-4t}+\dfrac{(t+2)^2}{3+4t}\right)=$

$=-2\left(\dfrac{t^2-4t+4}{3-4t}+\dfrac{t^2+4t+4}{3+4t}\right)=$

$=-2\left(\dfrac{(t^2-4t+4)(3+4t)+(t^2+4t+4)(3-4t)}{(3-4t)(3+4t)}\right)=$

$=-2\left(\dfrac{3t^2+4t^3-12t-16t^2+12+16t+3t^2-4t^3+12t-16t^2+12-16t}{9-16t^2}\right)=$

$=-2\left(\dfrac{3t^2-16t^2+12+3t^2-16t^2+12}{9-16t^2}\right)=-2\left(\dfrac{-26t^2+24}{9-16t^2}\right)=\dfrac{52t^2-48}{9-16t^2}$

Тогда, уравнение примет вид:

$\dfrac{52t^2-48}{9-16t^2}=4$

$52t^2-48=4(9-16t^2)$

$52t^2-48=36-64t^2$

$116t^2=84$

$t^2=\dfrac{84}{116} =\dfrac{21}{29}$

$t=\pm\sqrt{\dfrac{21}{29} }$

Обратная замена: $\mathrm{tg}a_3=\pm\sqrt{\dfrac{21}{29} }$

Находим требуемую величину:

$\cos^2 a_3=\dfrac{1}{1+\mathrm{tg}^2a_3} =\dfrac{1}{1+\frac{21}{29} } =\dfrac{1}{\frac{50}{29} } =\dfrac{29}{50} =\boxed{0.58}$

Второй случай: $\mathrm{tg}d=-2,\ \mathrm{tg}2d=\dfrac{4}{3}$

Заметим, что при подстановке этих значений в уравнение, получится такое же уравнение, как и в предыдущем случае с той лишь разницей, что первое и четвертое, а также второе и третье слагаемое будут поменяны местами. Значит, никаких новых результатов получено не будет.

Ответ: 0.58

Answer 2

Дано, что члены арифметической прогрессии задаются как:

а₁, а₂, а₃, а₄, а₅

и что разность прогрессии равна d.

Также дано, что cos(d) = √0.2.

Мы также имеем уравнение:

tga₁ * tga₁₂ + tga₂ * tga₃ + tga₃ * tga₄ + tga₄ * tga₅ = 4

Давайте начнем с нахождения tga для каждого угла:

tga₁ = sin(а₁) / cos(а₁) tga₂ = sin(а₂) / cos(а₂) tga₃ = sin(а₃) / cos(а₃) tga₄ = sin(а₄) / cos(а₄) tga₅ = sin(а₅) / cos(а₅)

Теперь мы можем подставить выражения для tga в уравнение:

tga₁ * tga₁₂ + tga₂ * tga₃ + tga₃ * tga₄ + tga₄ * tga₅ = 4

(sin(а₁) / cos(а₁)) * (sin(а₂) / cos(а₂ + d)) + (sin(а₂) / cos(а₂)) * (sin(а₃) / cos(а₃ + d)) + (sin(а₃) / cos(а₃)) * (sin(а₄) / cos(а₄ + d)) + (sin(а₄) / cos(а₄)) * (sin(а₅) / cos(а₅ + d)) = 4

Теперь давайте умножим числитель и знаменатель каждой дроби на cos(d):

(sin(а₁) * cos(d)) / (cos(а₁) * cos(а₂ + d)) + (sin(а₂) * cos(d)) / (cos(а₂) * cos(а₃ + d)) + (sin(а₃) * cos(d)) / (cos(а₃) * cos(а₄ + d)) + (sin(а₄) * cos(d)) / (cos(а₄) * cos(а₅ + d)) = 4

Теперь мы можем использовать тригонометрические тождества, такие как:

sin(α) * cos(β) = (1/2) * [sin(α + β) + sin(α - β)]

Применим это к каждому члену:

(1/2) * [(sin(а₁ + d) + sin(а₁ - d)) / (cos(а₂ + d))] + (1/2) * [(sin(а₂ + d) + sin(а₂ - d)) / (cos(а₃ + d))] + (1/2) * [(sin(а₃ + d) + sin(а₃ - d)) / (cos(а₄ + d))] + (1/2) * [(sin(а₄ + d) + sin(а₄ - d)) / (cos(а₅ + d))] = 4

Теперь мы можем упростить числители, используя тригонометрические тождества:

(1/2) * [2 * sin(а₁) * cos(d) / (cos(а₂ + d))] + (1/2) * [2 * sin(а₂) * cos(d) / (cos(а₃ + d))] + (1/2) * [2 * sin(а₃) * cos(d) / (cos(а₄ + d))] + (1/2) * [2 * sin(а₄) * cos(d) / (cos(а₅ + d))] = 4

Теперь подставим cos(d) и упростим дальше:

(1/2) * [2 * sin(а₁) * √0.2 / (cos(а₂ + d))] + (1/2) * [2 * sin(а₂) * √0.2 / (cos(а₃ + d))] + (1/2) * [2 * sin(а₃) * √0.2 / (cos(а₄ + d))] + (1/2) * [2 * sin(а₄) * √0.2 / (cos(а₅ + d))] = 4

Упростим дальше:

sin(а₁) * √0.2 / (cos(а₂ + d)) + sin(а₂) * √0.2 / (cos(а₃ + d)) + sin(а₃) * √0.2 / (cos(а₄ + d)) + sin(а₄) * √0.2 / (cos(а₅ + d)) = 4

Теперь, чтобы продолжить, нам нужно как-то учесть связь между членами прогрессии. Похоже, что она может быть использована для определения углов, но без дополнительной информации, чтобы конкретно выразить углы через d, я не могу полностью решить это уравнение. Возможно, вам нужно дополнительное условие или информация о связи между членами прогрессии, чтобы можно было решить задачу дальше.