Question

Составить уравнение гиперболы, фокусы которого расположены на оси ординат симметрич-но относительно начала координат, зная, что расстояние между фокусами 2с=10 и эксцентриси-тет e=5/3.

Answer 1

Уравнение (-x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1 определяет гиперболу, симметричную относительно координатных осей, с фокусами на оси ординат.

e = c/a, тогда а = с/е = 5/(5/3) = 3.

b = √(c^2 - a^2) = √(25 - 9) = √16 = 4.

Ответ: уравнение гиперболы (-x^2/5^2) + (y^2/4^2) = 1.

Answer 2

Уравнение гиперболы в стандартной форме с фокусами на оси ординат имеет следующий вид:

$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{c^2} = 1$,

где $2c$ - расстояние между фокусами, $a$ - половина расстояния между вершинами гиперболы, $e$ - эксцентриситет.

Известно, что $2c = 10$ и $e = \frac{5}{3}$. Мы также знаем, что эксцентриситет $e$ для гиперболы связан с полуосью $a$ и расстоянием $c$ между центром и фокусом следующим образом:

$e = \frac{c}{a}$.

Мы можем использовать эти данные для вычисления $a$ и $c$:

$e = \frac{c}{a} \Rightarrow c = e \cdot a$,

$2c = 10 \Rightarrow c = 5$.

Теперь мы можем найти $a$:

$a = \frac{c}{e} = \frac{5}{\frac{5}{3}} = 3$.

Теперь, подставив найденные значения $a$ и $c$ в уравнение гиперболы, получим окончательное уравнение:

$\frac{y^2}{3^2} - \frac{x^2}{5^2} = 1$,

или

$\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{25} = 1$.