Question

Существуют ли два целых числа, сумма кубов которых равна 2021?С объяснение, пожалуйста.Ответ я итак знаю.

Answer 1

Ответ:

Не существует такой пары целых чисел!

Пошаговое объяснение:

Предположим,что есть такие два целых числа. Обозначим их, как a∈Z b∈Z. Тогда:

a³+b³=2021

разложим по формуле сокращенного умножения:

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)=2021;        (1)

видим, что наша сумма кубов разлагается на два множителя. На множитель a+b и множитель a²-ab+b².

Число 2021 - составное (проверяем по таблице простых чисел). Попробуем разложить на множители число 2021 (не обязательно простые множители). Легко увидеть, что у числа 2021 всего лишь  два множителя: 43 и 47 (вариант 1 х 2021 не подходит по понятной причине).

2021=43*47

Вот теперь, посмотрев еще раз на формулу (1), мы можем составить систему уравнений (два варианта!) Причем учитываем только целые решния системы:

1.

а+b=43;

a²-ab+b²=47;

a=43-b;

(43-b)²-(43-b)b+b²-47=0;

43²-86b+b²-43b+b²+b²-47=0

3b²-129b+1802=0; D=16641-12*1802<0

Не имеет решений.

2.

а+b=47;

a²-ab+b²=43;

a=47-b;

(47-b)²-(47-b)b+b²-43=0;

47²-94b+b²-47b+b²+b²-43=0;

2209-141b+3b²-43=0;

3b²-141b+2166=0; D=19881-12*2166<0

Не имеет решений.

Не существует такой пары целых чисел!

Answer 2

Нет, не существует двух целых чисел, сумма кубов которых равна 2021. Это можно доказать методом брутфорса (перебора).

Предположим, что такие числа существуют и обозначим их как a и b. Мы ищем такие целые числа a и b, для которых выполняется уравнение:

a^3 + b^3 = 2021.

Мы знаем, что кубы нечетных чисел остаются нечетными, а кубы четных чисел остаются четными. 2021 - нечетное число. Так как a и b - целые числа, то они могут быть обоими четными или обоими нечетными. Однако при попытке перебора всех возможных комбинаций целых чисел, мы обнаружим, что нет таких a и b, которые удовлетворяют уравнению.

Мы могли бы перебрать все целые числа, но давайте рассмотрим нечетные числа от 1 до 11 (поскольку кубы больших нечетных чисел уже будут слишком большими):

1^3 = 1 3^3 = 27 5^3 = 125 7^3 = 343 9^3 = 729 11^3 = 1331

Если мы попробуем все возможные комбинации сумм двух из этих чисел, то не найдем ни одной пары, которая давала бы сумму 2021. Поэтому можно сделать вывод, что нет целых чисел a и b, для которых a^3 + b^3 = 2021.