Question

Найдите корни симметрического многочлена6)x⁵+2x³+2x²+1​С Обьяснением

Answer 1

Ответ:

-1

Пошаговое объяснение:

все на фото..........

Answer 2

Ответ:

$\displaystyle x=-1\\x=\frac14(1-i\sqrt3-\sqrt{2(-9-i\sqrt3})\\x=\frac14(1-i\sqrt3+\sqrt{2(-9-i\sqrt3})\\x=\frac14(1+i\sqrt3-\sqrt{2(-9+i\sqrt3})\\x=\frac14(1+i\sqrt3+\sqrt{2(-9+i\sqrt3})$

Пошаговое объяснение:

$x^5+2x^3+2x^2+1$

Подставим вместо х -1. Тогда получим

$(-1)^5+2(-1)^3+2(-1)^2+1=-1-2+2+1=0$

Тогда х = -1 корень данного многочлена. Тогда этот многочлен можно представить в виде $(x+1)Q^4(x)$, где Q - многочлен 4 степени. Найдём Q

Так как многочлен симметричный, то и Q будет симметричным. (это верно потому, что при раскрытии скобок данный многочлен будет иметь одинаковые коэффициенты везде, где у исходного были одинаковые коэффициенты)

$Q(x)=x^4+ax^3+bx^2+ax+1$ (симметричный многочлен)

Умножим его на (x+1) и найдем a и b

$a=-1\\b=3$

Тогда

$Q(x)=x^4-x^3+3x^2-x+1$

Тогда, чтобы найти корни многочлена $x^5+2x^3+2x^2+1$ нужно найти корни $(x-1)(x^4-x^3+3x^2-x+1)$, т.е. решить уравнение

$(x-1)(x^4-x^3+3x^2-x+1)=0$

Тогда или х = - 1 или $x^4-x^3+3x^2-x+1=0$

Решим это уравнение

$x^4-x^3+3x^2-x+1=0$

так как х=0 не корень, то мы можем поделить на x² обе части уравнения

$\displaystyle x^2-x+3-\frac1x+\frac1{x^2}=0$

Тогда сделаем замену

$\displaystyle t=x+\frac1x$

Тогда

$t^2-2=\displaystyle (x+\frac1x)^2-2=x^2+2+\frac1{x^2}-2=x^2+\frac1{x^2}$

Преобразуем исходный многочлен

$\displaystyle x^2-x+3-\frac1x+\frac1{x^2}=0\\(x^2+\frac1{x^2})-(x+\frac1x)+3=0\\(t^2-2)-t+3=0\\t^2-t+1=0\\t=\frac{1\pm\sqrt{1-4*1*1}}{2}\\t=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}\\t=\frac12\pm i\frac12\sqrt3$

Тогда сделаем обратную замену и решим для всех вариантов для t

$></p> <p>Тогда есть 2 варианта:</p> <p>1)</p> <p>  <img src=$

2)

$\displaystyle x=\frac14\pm i\frac14\sqrt3\pm\sqrt{\frac{-\frac121+\frac12i\sqrt3}{4}-1}$

Тогда корни нашего исходного многочлена это

$\displaystyle x=-1\\x=\frac14(1-i\sqrt3-\sqrt{2(-9-i\sqrt3})\\x=\frac14(1-i\sqrt3+\sqrt{2(-9-i\sqrt3})\\x=\frac14(1+i\sqrt3-\sqrt{2(-9+i\sqrt3})\\x=\frac14(1+i\sqrt3+\sqrt{2(-9+i\sqrt3})$

Answer 3

Для нахождения корней симметрического многочлена, который имеет вид:

$f(x) = x^5 + 2x^3 + 2x^2 + 1$

Мы можем воспользоваться методом замены переменной. Обозначим $y = x^2$, тогда многочлен можно переписать в виде:

$f(y) = y^2 + 2y + 2y^2 + 1$

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно переменной $y$:

$f(y) = 3y^2 + 2y + 1$

Для решения этого квадратного уравнения, можно воспользоваться квадратным трёхчленом. Уравнение можно представить в виде $ay^2 + by + c = 0$, где $a = 3$, $b = 2$, и $c = 1$. Корни квадратного уравнения можно найти с помощью формулы:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Подставляя значения $a$, $b$ и $c$, получаем:

$y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$ $y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{6}$ $y = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{6}$ $y = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{2}}{6}$ $y = -\frac{1}{3} \pm \frac{1}{3}i\sqrt{2}$

Таким образом, корни квадратного уравнения (а следовательно, исходного симметрического многочлена) являются комплексными числами:

$y = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3}i\sqrt{2}$ $y = -\frac{1}{3} - \frac{1}{3}i\sqrt{2}$

Но мы помним, что мы ввели замену переменной $y = x^2$, поэтому теперь нам нужно найти корни $x$ из уравнения $y = x^2$, соответствующие этим значениям $y$:

Для $y = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3}i\sqrt{2}$: $x^2 = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3}i\sqrt{2}$ $x = \pm \sqrt{-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}i\sqrt{2}}$

Для $y = -\frac{1}{3} - \frac{1}{3}i\sqrt{2}$ 0 0