Question

Найдите Корни симметрического многочленаx⁴+2x³-x²+2x+1 ​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle x=-\frac32\pm\frac12\sqrt5\\x=\frac12\pm i\frac12\sqrt3$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle x^4+2x^3-x^2+2x+1=0$

х = 0 - не является корнем данного многочлена, это значит, что мы можем поделить обе части на х².

$\displaystyle x^4+2x^3-x^2+2x+1=0\\\frac1{x^2}(x^4+2x^3-x^2+2x+1)=0\\x^2+2x-1+2\frac1x+\frac1{x^2}=0\\x^2+\frac1{x^2}+2(x+\frac1x)-1=0$

Сделаем замену

$\displaystyle t=x+\frac1x$

Тогда

$\displaystyle t^2-2=(x+\frac{1}{x})^{2}-2=x^2+2+\frac{1}{x^2}-2=x^2+\frac{1}{x^2}$

Перепишем уравнение

$></p> <p>Мы нашли значение t. Осталось сделать обратную замену и решить это уравнение.</p> <p>Буду решать каждое уравнение по отдельности.</p> <p>1)  t = -3</p> <p><img src=$

2) t = 1

$\displaystyle x+\frac1x=1\\x^2+1=x\\x^2-x+1=0\\x=\frac{1\pm\sqrt{1-4*1*1}}{2}\\x=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}\\x=\frac12\pm i\frac12\sqrt3$

Мы нашли все корни!

Answer 2

Для нахождения корней симметрического многочлена сначала найдем его сопряженные корни. Если комплексное число является корнем многочлена с вещественными коэффициентами, то его комплексно сопряженное также будет являться корнем многочлена.

Многочлен x⁴+2x³-x²+2x+1 не имеет очевидных рациональных корней. Попробуем найти его комплексные корни.

Предположим, что многочлен имеет комплексный корень вида z = a + bi, где a и b - вещественные числа, а i - мнимая единица.

Подставим z в многочлен и приравняем его к нулю:

(a + bi)⁴ + 2(a + bi)³ - (a + bi)² + 2(a + bi) + 1 = 0

Раскроем скобки и сгруппируем вещественные и мнимые части:

(a⁴ + 6a²b² + b⁴ + 2a³ + 6a²bi + 2b³i - a² - 2abi - b² + 2a + 2bi + 1) + i(4a³b + 4ab³ + 3a²b + 3ab² - 2a - 2b) = 0

Разделим полученное уравнение на i и приравняем вещественные и мнимые части к нулю:

a⁴ + 6a²b² + b⁴ + 2a³ + 6a²b - a² - b² + 2a + 1 = 0 4a³b + 4ab³ + 3a²b + 3ab² - 2a - 2b = 0

Теперь мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными (a и b). Решим ее численно с помощью компьютера или математического программного обеспечения.

В результате найденные комплексные корни многочлена x⁴+2x³-x²+2x+1 будут симметричными относительно вещественной оси.