Question

Срооочно Учитывая, что a и b - натуральные числа. Известно, что a + b = 2021. Докажите, что a*b не делится на 2021​

Answer 1

Ответ:

пусть а и b простые числа

Можно считать что а больше b

тогда Год (а,b) =1 *(а:b )= a* b

что и требовалось доказать

Answer 2

Давайте докажем это утверждение от противного. Предположим, что $ab$ делится на 2021, то есть $ab = 2021k$ для некоторого натурального числа $k$.

У нас также дано, что $a + b = 2021$. Рассмотрим следующие два случая:

1. Пусть $a$ и $b$ не делятся на 2021. Тогда $a$ и $b$ взаимно просты с 2021, и мы можем записать $a = 2021m + r$ и $b = 2021n + s$, где $m$, $n$ - натуральные числа, а $r$, $s$ - остатки от деления $a$ и $b$ на 2021 соответственно ($0 \leq r, s < 2021$).

Так как $ab = (2021m + r)(2021n + s)$, раскроем скобки:

$ab = 2021^2mn + 2021ms + 2021nr + rs$

Так как $ab = 2021k$, то $2021^2mn + 2021ms + 2021nr + rs = 2021k$, что означает, что 2021 делит левую сторону. Однако, так как $r$ и $s$ меньше 2021, то $rs$ также меньше 2021, и это приводит к противоречию, так как 2021 не может делить $ab$ нацело.

2. Пусть теперь хотя бы одно из чисел $a$ и $b$ делится на 2021. Без ограничения общности, предположим, что $a$ делится на 2021. Тогда $a = 2021m$ для некоторого натурального числа $m$. Подставим это значение в уравнение $a + b = 2021$:

$2021m + b = 2021$

Отсюда $b = 2021 - 2021m = 2021(1 - m)$.

Теперь рассмотрим произведение $ab$:

$ab = 2021m \cdot 2021(1 - m) = 2021^2 m(1 - m)$

Так как $m$ и $1 - m$ всегда будут взаимно простыми, $m(1 - m)$ не может делиться на 2021. Таким образом, $ab$ не может делиться на 2021.

Таким образом, в обоих случаях мы пришли к противоречию, что доказывает, что $ab$ не делится на 2021, если $a + b = 2021$.