Question

МЕГА СРОЧНО!!!!!! ПОМОГИТЕ!!!!!!! МНОГО БАЛЛОВ!!!!! Докажите, что сумма медиан треугольника меньше периметра, но больше полупериметра треугольника.

Answer 1

Ответ:

Отложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MA1, равный AM. Тогда ABA1C — параллелограмм (см рисунок)

Поэтому

BA1 = AC, 2AM = AA1 < AB + BA1 = AB + AC

Отсюда следует, что AM < 1/2(AB + BC).

Аналогично докажем, что

BN < 1/2(AB + BC),

CK < 1/2(AC + BC).

Сложив почленно эти три неравенства, получим:

AM + BN + CK < AB + BC + AC.

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение.

Пусть у нас есть треугольник ABC, а медианы обозначены как m_a, m_b и m_c. Полупериметр треугольника равен s = (a + b + c) / 2, где a, b и c - длины сторон треугольника.

Утверждение 1: Сумма медиан треугольника меньше его периметра.

Для доказательства этого факта, давайте воспользуемся неравенством треугольника для трех медиан:

a < 2m_a (так как медиана меньше половины соответствующей стороны) b < 2m_b c < 2m_c

Сложим эти три неравенства:

a + b + c < 2m_a + 2m_b + 2m_c

Поскольку m_a, m_b и m_c - медианы, соединяющие вершины треугольника с противоположными сторонами, справедливо следующее:

2m_a + 2m_b + 2m_c = 4(m_a + m_b + m_c)

Таким образом, у нас есть:

a + b + c < 4(m_a + m_b + m_c)

Но известно, что медианы треугольника делят его на шесть равных треугольников равной площади. То есть:

m_a + m_b + m_c = s

Подставим это обратно в неравенство:

a + b + c < 4s

Следовательно, сумма длин сторон треугольника (периметр) больше суммы его медиан:

a + b + c > m_a + m_b + m_c

Утверждение 2: Сумма медиан треугольника больше его полупериметра.

Мы уже выяснили, что:

a + b + c > m_a + m_b + m_c

А также, что:

m_a + m_b + m_c = s

Следовательно,

a + b + c > s

Что можно переписать как:

2(a + b + c) > 2s

Или:

a + b + c > 2s

Из определения полупериметра s:

2s = a + b + c

Подставляя это значение обратно:

a + b + c > a + b + c

Что всегда верно.

Таким образом, у нас есть:

a + b + c > m_a + m_b + m_c > s

Исходное утверждение доказано.