Question

Помогите решить:2√у-у'=0 при у(0)=1​

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения воспользуемся методом разделения переменных.

Итак, у нас дано уравнение:

2√у - у' = 0.

Давайте разделим переменные, переместив все члены, связанные с "у", на одну сторону уравнения, а все члены, содержащие производную "у'", на другую сторону:

2√у = у'.

Теперь давайте проинтегрируем обе части уравнения. Для этого применим правило интегрирования степенной функции и получим:

∫2/√у dy = ∫1 dy'.

Чтобы интегрировать левую часть, мы можем воспользоваться заменой переменных. Пусть u = √у. Тогда du/dy = 1/(2√у), а dy = 2√у du. Подставим это в левую часть уравнения:

∫2/√у dy = ∫2/√у * 2√у du = ∫4 du = 4u.

Интегрирование правой части дает:

∫1 dy' = ∫1 d(du/dy) = ∫1 du = u.

Таким образом, наше уравнение становится:

4u = u'.

Это уравнение можно решить, взяв его разделенные переменные. Разделим обе части на "u" и "du":

4 du/u = dy.

Теперь интегрируем обе части:

∫4 du/u = ∫dy.

4 ln|u| = y + C,

где С - константа интегрирования.

Мы получили общее решение уравнения. Чтобы найти значение С, мы используем начальное условие у(0) = 1. Подставим x = 0 и у = 1 в уравнение:

4 ln|1| = 0 + C,

4 * 0 = C,

C = 0.

Таким образом, общее решение уравнения 2√у - у' = 0 выглядит следующим образом:

4 ln|u| = y.

Затем мы можем использовать начальное условие у(0) = 1, чтобы найти значение константы:

4 ln|1| = 0 + C,

0 = C.

Поэтому частное решение имеет вид:

4 ln|u| = y.

Таким образом, решением данного дифференциального уравнения является:

4 ln|u| = y.