Question

Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку М:f(x)=sin2x ,. M(0;1)​

Answer 1

Ответ:

$F(x)=-\frac{1}{2}\cdot cos(2x)+\frac{3}{2}$

Пошаговое объяснение:

Найдем первообразную:

$F(x)=\int {sin(2x)} \, dx =\frac{1}{2} \int {sin(2x)}\, d(2x)=-\frac{1}{2}\cdot cos(2x)+C$

Если первообразная проходит через точку M(0;1), то:

$F(0)=1\\\\-\frac{1}{2}\cdot cos(2\cdot0)+C=1 \\\\-\frac{1}{2}\cdot 1+C=1 \\\\C=\frac{3}{2}$

Таким образом:

$F(x)=-\frac{1}{2}\cdot cos(2x)+\frac{3}{2}$

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции f(x) = sin^2(x), график которой проходит через точку M(0, 1), мы должны найти функцию F(x), производную которой будет равна f(x), и затем использовать условие M(0, 1), чтобы определить значение постоянной интегрирования.

Дано: f(x) = sin^2(x)

Для начала, воспользуемся тригонометрической тождеством: sin^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2.

Теперь мы знаем, что производная функции F(x) по x должна быть равна f(x):

F'(x) = (1 - cos(2x)) / 2

Чтобы найти функцию F(x), проинтегрируем выражение f(x) по x:

F(x) = ∫(1 - cos(2x)) / 2 dx

Разделим интеграл на два отдельных интеграла:

F(x) = (1/2)∫(1 - cos(2x)) dx

Интегрируем каждый из интегралов:

F(x) = (1/2)(x - (1/2)sin(2x)) + C

Теперь у нас есть общее решение для функции F(x), где C - произвольная постоянная интегрирования.

Используя условие точки M(0, 1), мы можем найти значение постоянной C:

F(0) = (1/2)(0 - (1/2)sin(2 * 0)) + C = C = 1

Итак, окончательная первообразная, график которой проходит через точку M(0, 1), имеет вид:

F(x) = (1/2)(x - (1/2)sin(2x)) + 1