Question

Про натуральные числа a и b известно, что 4(a+b)=НОД(a,b)+НОК(a,b).Какое наименьшее значение может принимать ab?​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

вроде 53.............

Answer 2

Из условия у нас есть уравнение:

4(a + b) = НОД(a, b) + НОК(a, b).

Мы хотим найти наименьшее значение для произведения ab.

Давайте воспользуемся следующими свойствами:

1. НОК(a, b) * НОД(a, b) = ab (для любых натуральных чисел a и b).
2. Если НОД(a, b) = d, то a = dm и b = dn, где m и n взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1).

Заметим, что наше уравнение может быть переписано в следующем виде:

4(a + b) = ab + ab.

Или сокращая:

2(a + b) = ab.

Теперь мы видим, что нам нужно найти такие значения a и b, чтобы выполнялось это уравнение, и чтобы ab было минимальным.

Подставим a = dm и b = dn в уравнение 2(a + b) = ab:

2(dm + dn) = d^2mn.

Разделим обе стороны на 2d:

m + n = dmn.

Мы знаем, что m и n взаимно просты, поэтому их сумма m + n не может быть равной 1 (иначе они были бы равны 1 и не были бы взаимно простыми). Следовательно, наименьшее возможное значение для m + n больше 1.

Теперь давайте рассмотрим, как можно выбрать m и n, чтобы их сумма была наименьшей при условии m + n > 1.

Мы хотим, чтобы произведение m и n было как можно меньше, так как это минимизирует значение ab. Для этого мы можем взять m = 2 и n = 2, так как 2 * 2 = 4, что является наименьшим возможным произведением двух натуральных чисел больше 1.

Таким образом, наименьшее значение ab достигается при m = 2, n = 2 и d = m + n = 4. Подставляя это обратно, получаем:

ab = НОК(a, b) * НОД(a, b) = d^2 * mn = 4^2 * 2 * 2 = 64.

Итак, наименьшее значение для произведения ab при заданных условиях равно 64.