Question

Детектор лжи фиксирует неверный ответ с вероятностью 95%. Какова вероятность того, что на 10 поставленных вопросов неправильный ответ будет зафиксирована хотя бы два раза?

Answer 1

Ответ:

0.99999999998134765625

Пошаговое объяснение:

Тут нужно воспользоваться формулой Бернулли, описывающей вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна p, событие наступит ровно k раз.

$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

Будем решать задачу от обратного. Найдем вероятность противоположного события, а именно: вероятность того, что неправильный ответ будет зафиксирован 0 или 1 раз.

Для такой задачи $p=0.95$

$P_{10}(0)=C_{10}^0 \cdot p^0\cdot (1-p)^{10-0}=\frac{10!}{0!\cdot(10-0)!}\cdot 0.95^0\cdot (1-0.95) ^{10}=1\cdot1\cdot0.05^{10}$

$P_{10}(1)=C_{10}^1 \cdot p^1\cdot (1-p)^{10-1}=\frac{10!}{1!\cdot(10-1)!} \cdot 0.95^1\cdot 0.05^9=10\cdot 0.95\cdot 0.05^9$

Тогда вероятность того, что ответ будет зафиксирован 0 или 1 раз равна

$0.05^{10}+10\cdot 0.95\cdot 0.05^9=0.00000000001865234375$

Тогда вероятность того, что неправильный ответ появится хотя бы 2 раза:

$1-0.00000000001865234375=0.99999999998134765625$  

Таким образом, можно сказать, что вероятность того, что детектор зафиксирует хотя бы 2 неправильных ответа, сильно близка к 1

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать биномиальное распределение. Пусть p - вероятность зафиксировать неверный ответ (0.95), а q - вероятность верного ответа (1 - p = 0.05). Также пусть n - количество вопросов (10), и мы хотим найти вероятность того, что неправильный ответ будет зафиксирован хотя бы два раза.

Мы можем рассмотреть два случая:

1. Неправильный ответ будет зафиксирован два раза.
2. Неправильный ответ будет зафиксирован три раза, четыре раза и так далее до десяти раз.

Для первого случая (два раза) вероятность можно вычислить следующим образом:

C(10, 2) * p^2 * q^(10-2),

где C(10, 2) - количество способов выбрать 2 вопроса из 10.

Для второго случая (три и более раз) можно просто сложить вероятности для каждого числа от 3 до 10:

∑[k=3 to 10] (C(10, k) * p^k * q^(10-k)).

Таким образом, искомая вероятность будет суммой вероятностей двух случаев:

P(хотя бы 2 раза) = C(10, 2) * p^2 * q^8 + ∑[k=3 to 10] (C(10, k) * p^k * q^(10-k)).

Подставив значения p = 0.95 и q = 0.05 в формулу и вычислив, мы получим искомую вероятность.