Question

Вычислить приближённое значение функции с использованием дифференциациала arcsin0,48

Answer 1

$\arcsin(0.48)$

Будем вычислять значение данного выражения с помощью формулы:

$f(x_{0} + ∆x) \approx f(x_{0}) + d[f(x_{0})]$

Составим функцию f(x):

$f(x) = \arcsin(x)$

По условию нам нужно вычислить значение данной функции в точке 0.48.

Смотрим на левую часть формулы:

$f(x_{0} + ∆x)$

В качестве х₀ выбираем число, arcsin которого мы можем вычислить и которое находится близко к числу 0.48. Таким числом является 0.5, ведь оно ближе всего к 0.5, и его arcsin:

$\arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6}$

Поэтому х₀ = 0.5. Следовательно ∆х = 0.48 - 0.5 = -0.02.

Что мы получили:

$f(x_{0} + ∆x) = f(0.5 - 0.02)$

Далее работаем с правой частью формулы:

$f(x_{0}) + d[f(x_{0})]$

Сначала вычислим значение функции в точке х₀. Собственно мы это сделали ранее:

$f(x_{0}) = f(0.5) = \arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6}$

Дифференциал в точке х₀ найдём по формуле:

$d[f(x_{0})] = f'(x_{0})∆x$

Берём производную от нашей функции:

$f'(x) = ( \arcsin(x))' = \frac{1}{ \sqrt{1 - {x}^{2} } }$

Находим её значение в точке х₀:

$f'(x_{0}) = f'(0.5) = \frac{1}{ \sqrt{1 - {0.5}^{2} } } = \frac{1}{ \sqrt{ \frac{3}{4} } } = \sqrt{ \frac{4}{3} } = \frac{2 }{ \sqrt{3} } = \frac{2 \sqrt{3} }{3}$

Таким образом:

$d[f(x_{0})] = \frac{2 \sqrt{3} }{3} \times ( - 0.02) = - \frac{4 \sqrt{3} }{3 \times 100} = - \frac{ \sqrt{3} }{75}$

Итого:

$f(0.48) = \arcsin(0.48) \approx \frac{\pi}{6} + ( - \frac{ \sqrt{3} }{75} ) = \frac{\pi}{6} - \frac{ \sqrt{3} }{75}$

Вычислим окончательное приближенное значение:

$\pi \approx 3.14, \: \sqrt{3} \approx 1.73$

$\frac{\pi}{6} - \frac{ \sqrt{3} }{75} = \frac{1}{150} (25\pi - 2 \sqrt{3} ) = \frac{1}{150} (78.5 - 3.46) = \frac{75.04}{150} = \frac{938}{1875} \approx 0.5003$

Ответ: arcsin(0.48) ≈ 0.5003

Answer 2

Давайте вычислим приближенное значение функции $\arcsin(0.48)$ с использованием дифференциала.

Первым шагом будет вычисление производной $\frac{d}{dx}(\arcsin(x))$ и подстановка $x = 0.48$, чтобы получить приближенное значение производной в этой точке.

Производная функции $\arcsin(x)$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.

Теперь подставим $x = 0.48$: $\frac{1}{\sqrt{1 - (0.48)^2}} \approx \frac{1}{\sqrt{1 - 0.2304}} \approx \frac{1}{\sqrt{0.7696}} \approx \frac{1}{0.8772} \approx 1.1399$

Таким образом, значение производной $\arcsin(x)$ в точке $x = 0.48$ составляет приблизительно 1.1399.

Теперь, чтобы приближенно вычислить значение самой функции $\arcsin(0.48)$, мы можем использовать формулу приращения функции: $\Delta y = f'(x) \cdot \Delta x$

Где $f'(x)$ - это значение производной функции $\arcsin(x)$ в точке $x = 0.48$, а $\Delta x$ - это изменение $x$, то есть $0.48 - 0$.

Таким образом, $\Delta y \approx 1.1399 \cdot 0.48 \approx 0.5472$

Из этого следует, что приближенное значение функции $\arcsin(0.48)$ равно около $0 + 0.5472 \approx 0.5472$.

Итак, $\arcsin(0.48)$ приближенно равно примерно 0.5472.