Question

Постойте взаимно однозначное отображение полуинтервала [0;1) на замкнутый луч [0;+∞). С объяснением

Answer 1

Рассмотрим промежуток $(0;\ 1)$.

Заметим, что при нахождении обратных чисел для чисел из этого промежутка, мы будем однозначно получать числа из промежутка $(1;\ +\infty)$.

Рассмотрим промежуток $(1;\ +\infty)$.

Заметим, что если мы будем находить числа, на 1 меньшие, чем числа из данного промежутка, мы будем однозначно получать числа из промежутка $(0;\ +\infty)$.

Таким образом, по некоторому числу из промежутка $(0;\ 1)$ однозначно определяется число из промежутка $(0;\ +\infty)$.

Получим отображение:

$f:\ (0;\ 1)\to (0;\ +\infty)$

$f(x)=\dfrac{1}{x} -1$

Рассуждая в обратном направлении можно получить обратное отображение. Прибавляя 1 к некоторому числу из промежутка $(0;\ +\infty)$ , а затем находя для получившегося числа обратное, мы будем однозначно получать числа из промежутка $(0;\ 1)$.

$f^{-1}:\ (0;\ +\infty)\to (0;\ 1)$

$f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x+1}$

Но по условию вместо промежутка $(0;\ 1)$ рассматривается промежуток $[0;\ 1)$, а вместо промежутка $(0;\ +\infty)$ - промежуток $[0;\ +\infty)$. Тогда, сопоставим нули в этих промежутках друг другу.

Получим прямое отображение:

$f:\ [0;\ 1)\to [0;\ +\infty)$

$f(x)=\begin{cases} 0,\ x=0\\ \dfrac{1}{x} -1,\ x\neq 0\end{cases}$

Получим обратное отображение:

$f^{-1}:\ [0;\ +\infty)\to [0;\ 1)$

$f^{-1}(x)=\begin{cases} 0,\ x=0\\ \dfrac{1}{x+1},\ x\neq 0\end{cases}$

Answer 2

Одним из способов создания взаимно однозначного отображения между полуинтервалом [0;1) и замкнутым лучом [0;+∞) является функция, использующая преобразование гиперболического тангенса. Такое отображение можно задать следующим образом:

$f(x) = -\ln(1 - x)$

Давайте разберемся, почему это отображение взаимно однозначно.

1. Области определения и значения:

   • Для полуинтервала [0;1), x принимает значения от 0 (включительно) до 1 (исключительно).
   • Для замкнутого луча [0;+∞), f(x) принимает значения от 0 (включительно) до +∞.

2. Взаимная однозначность:

   • Функция $f(x)$ строго монотонно возрастает на интервале [0;1), так как её производная равна $f'(x) = \frac{1}{1 - x} > 0$ при $x \in [0;1)$.
   • Для доказательства взаимной однозначности остается показать, что функция обладает обратной функцией, которая будет отображать значения из замкнутого луча [0;+∞) обратно в полуинтервал [0;1). Такая функция имеет вид:

$f^{-1}(y) = 1 - e^{-y}$

• Подтвердим, что $f^{-1}(y)$ действительно обратная функция, вычислив $f(f^{-1}(y))$ и $f^{-1}(f(x))$ и показав, что они равны исходным значениям.

3. Объяснение:
   • Гиперболический тангенс и логарифм используются здесь для создания биективного (взаимно однозначного) отображения, которое "растягивает" полуинтервал [0;1) в бесконечность.
   • В результате, когда x приближается к 1, функция $-\ln(1 - x)$ стремится к бесконечности.

Итак, функция $f(x) = -\ln(1 - x)$ предоставляет взаимно однозначное отображение полуинтервала [0;1) на замкнутый луч [0;+∞).