Question

Рассчитай высоту, на которой сила гравитации, действующая на тело, будет в 7,8 раз меньше, чем на поверхности Земли. Радиус Земли принять равным 6400 км. Ответ (округли до целого числа): км. Даю 50 баллов

Answer 1

Ответ в прикрепленном фото

Answer 2

Сила гравитации на тело определяется законом всемирного тяготения, который выражается формулой:

$F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2}$,

где:

• $F$ - сила гравитации между телами,
• $G$ - гравитационная постоянная ($6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2$),
• $m_1$ и $m_2$ - массы двух тел,
• $r$ - расстояние между центрами тел.

Мы хотим найти такую высоту $h$, на которой сила гравитации будет в 7,8 раз меньше, чем на поверхности Земли ($F_{\text{на высоте}} = 0.122 \cdot F_{\text{на поверхности}}$).

На поверхности Земли расстояние $r$ равно радиусу Земли $6400 \, \text{км}$, а сила гравитации $F_{\text{на поверхности}}$ равна $m \cdot g$, где $m$ - масса тела, а $g$ - ускорение свободного падения ($9.81 \, \text{м/с}^2$).

Сначала найдем массу тела $m$, используя известное отношение между массой и силой тяжести:

$F_{\text{на поверхности}} = m \cdot g$.

Отсюда:

$m = \frac{F_{\text{на поверхности}}}{g}$.

Теперь мы можем выразить силу гравитации на высоте $h$ как:

$F_{\text{на высоте}} = \frac{G \cdot m \cdot M_{\text{Земли}}}{(r + h)^2}$,

где $M_{\text{Земли}}$ - масса Земли ($5.972 \times 10^{24}\, \text{кг}$).

Мы знаем, что $F_{\text{на высоте}} = 0.122 \cdot F_{\text{на поверхности}}$. Подставляя значения и выражения, получим:

$\frac{G \cdot m \cdot M_{\text{Земли}}}{(r + h)^2} = 0.122 \cdot \frac{G \cdot m \cdot M_{\text{Земли}}}{r^2}$.

Сокращаем $G \cdot m \cdot M_{\text{Земли}}$ с обеих сторон уравнения:

$\frac{1}{(r + h)^2} = 0.122 \cdot \frac{1}{r^2}$.

Теперь можно решить это уравнение относительно $h$:

$(r + h)^2 = \frac{1}{0.122} \cdot r^2$,

$r + h = \sqrt{\frac{1}{0.122}} \cdot r$,

$h = \sqrt{\frac{1}{0.122}} \cdot r - r$.

Подставляем значение $r = 6400 \, \text{км}$:

$h = \sqrt{\frac{1}{0.122}} \cdot 6400 - 6400$.

Вычисляем значение $h$:

$h \approx 15392 \, \text{км}$.

Округляем до целого числа:

$h \approx 15392 \, \text{км}$.

Таким образом, высота, на которой сила гравитации будет в 7,8 раз меньше, чем на поверхности Земли, составляет примерно 15392 км.